Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64542 / 68566
↖ ↑ ↗
← S  8.293035°
W  2.730103°		 ← 302.23 m → S  8.293035°
W  2.727356°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.295752°
W  2.730103°		 ← 302.23 m →
91 327 m²		 S  8.295752°
W  2.727356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492420196533203 y=0.523120880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492420196533203 × 217)
    floor (0.492420196533203 × 131072)
    floor (64542.5)     		tx = 64542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523120880126953 × 217)
    floor (0.523120880126953 × 131072)
    floor (68566.5)     		ty = 68566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64542 / 68566 ti = "17/64542/68566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64542/68566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64542 ÷ 217
    64542 ÷ 131072     		x = 0.492416381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68566 ÷ 217
    68566 ÷ 131072     		y = 0.523117065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492416381835938 × 2 - 1) × π
    -0.015167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04764928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523117065429688 × 2 - 1) × π
    -0.046234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.14524880584877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04764928} λ = -0.04764928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.14524880584877))-π/2
    2×atan(0.864807097277)-π/2
    2×0.713027783929392-π/2
    1.42605556785878-1.57079632675     		φ = -0.14474076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04764928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.730103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14474076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.293035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64542 KachelY 68566 -0.04764928 -0.14474076 -2.730103 -8.293035
    Oben rechts KachelX + 1 64543 KachelY 68566 -0.04760134 -0.14474076 -2.727356 -8.293035
    Unten links KachelX 64542 KachelY + 1 68567 -0.04764928 -0.14478819 -2.730103 -8.295752
    Unten rechts KachelX + 1 64543 KachelY + 1 68567 -0.04760134 -0.14478819 -2.727356 -8.295752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14474076--0.14478819) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dl = 302.176530000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14474076--0.14478819) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dr = 302.176530000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04764928--0.04760134) × cos(-0.14474076) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989543330839394 × 6371000     		do = 302.232004083707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04764928--0.04760134) × cos(-0.14478819) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989536488617366 × 6371000     		du = 302.229914292981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14474076)-sin(-0.14478819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989543330839394-0.989536488617366)×R²
    abs(-0.04760134--0.04764928)×6.84222202873563e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.84222202873563e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.84222202873563e-06×40589641000000     		ar = 91327.1025232541m²