Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64540 / 68564
↖ ↑ ↗
← S  8.287599°
W  2.735596°		 ← 302.17 m → S  8.287599°
W  2.732849°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.290317°
W  2.735596°		 ← 302.17 m →
91 309 m²		 S  8.290317°
W  2.732849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492404937744141 y=0.523105621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492404937744141 × 217)
    floor (0.492404937744141 × 131072)
    floor (64540.5)     		tx = 64540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523105621337891 × 217)
    floor (0.523105621337891 × 131072)
    floor (68564.5)     		ty = 68564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64540 / 68564 ti = "17/64540/68564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64540/68564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64540 ÷ 217
    64540 ÷ 131072     		x = 0.492401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68564 ÷ 217
    68564 ÷ 131072     		y = 0.523101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.01519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04774515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.14515293204953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04774515} λ = -0.04774515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.14515293204953))-π/2
    2×atan(0.864890013593713)-π/2
    2×0.713075219896631-π/2
    1.42615043979326-1.57079632675     		φ = -0.14464589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04774515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.735596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14464589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.287599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64540 KachelY 68564 -0.04774515 -0.14464589 -2.735596 -8.287599
    Oben rechts KachelX + 1 64541 KachelY 68564 -0.04769722 -0.14464589 -2.732849 -8.287599
    Unten links KachelX 64540 KachelY + 1 68565 -0.04774515 -0.14469332 -2.735596 -8.290317
    Unten rechts KachelX + 1 64541 KachelY + 1 68565 -0.04769722 -0.14469332 -2.732849 -8.290317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14464589--0.14469332) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dl = 302.176529999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14464589--0.14469332) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dr = 302.176529999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04774515--0.04769722) × cos(-0.14464589) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989557010046612 × 6371000     		do = 302.173137388574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04774515--0.04769722) × cos(-0.14469332) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989550172277232 × 6371000     		du = 302.171049393435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14464589)-sin(-0.14469332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989557010046612-0.989550172277232)×R²
    abs(-0.04769722--0.04774515)×6.83776938092961e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.83776938092961e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.83776938092961e-06×40589641000000     		ar = 91309.31466083m²