Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64537 / 66581
↖ ↑ ↗
← S  2.868978°
W  2.743835°		 ← 304.98 m → S  2.868978°
W  2.741089°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.871722°
W  2.743835°		 ← 304.98 m →
93 032 m²		 S  2.871722°
W  2.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492382049560547 y=0.507976531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492382049560547 × 217)
    floor (0.492382049560547 × 131072)
    floor (64537.5)     		tx = 64537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507976531982422 × 217)
    floor (0.507976531982422 × 131072)
    floor (66581.5)     		ty = 66581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64537 / 66581 ti = "17/64537/66581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64537/66581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64537 ÷ 217
    64537 ÷ 131072     		x = 0.492378234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66581 ÷ 217
    66581 ÷ 131072     		y = 0.507972717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492378234863281 × 2 - 1) × π
    -0.0152435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04788896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507972717285156 × 2 - 1) × π
    -0.0159454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0500940601029587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04788896} λ = -0.04788896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0500940601029587))-π/2
    2×atan(0.951139955970884)-π/2
    2×0.760361602343763-π/2
    1.52072320468753-1.57079632675     		φ = -0.05007312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04788896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.743835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05007312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.868978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64537 KachelY 66581 -0.04788896 -0.05007312 -2.743835 -2.868978
    Oben rechts KachelX + 1 64538 KachelY 66581 -0.04784103 -0.05007312 -2.741089 -2.868978
    Unten links KachelX 64537 KachelY + 1 66582 -0.04788896 -0.05012100 -2.743835 -2.871722
    Unten rechts KachelX + 1 64538 KachelY + 1 66582 -0.04784103 -0.05012100 -2.741089 -2.871722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05007312--0.05012100) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05007312--0.05012100) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04788896--0.04784103) × cos(-0.05007312) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998746603248186 × 6371000     		do = 304.979290223481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04788896--0.04784103) × cos(-0.05012100) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998744205604148 × 6371000     		du = 304.97855807403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05007312)-sin(-0.05012100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998746603248186-0.998744205604148)×R²
    abs(-0.04784103--0.04788896)×2.39764403808795e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.39764403808795e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39764403808795e-06×40589641000000     		ar = 93031.8323667671m²