Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64534 / 66574
↖ ↑ ↗
← S  2.849776°
W  2.752075°		 ← 304.98 m → S  2.849776°
W  2.749329°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.852520°
W  2.752075°		 ← 304.98 m →
93 033 m²		 S  2.852520°
W  2.749329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492359161376953 y=0.507923126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492359161376953 × 217)
    floor (0.492359161376953 × 131072)
    floor (64534.5)     		tx = 64534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507923126220703 × 217)
    floor (0.507923126220703 × 131072)
    floor (66574.5)     		ty = 66574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64534 / 66574 ti = "17/64534/66574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64534/66574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64534 ÷ 217
    64534 ÷ 131072     		x = 0.492355346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66574 ÷ 217
    66574 ÷ 131072     		y = 0.507919311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492355346679688 × 2 - 1) × π
    -0.015289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04803277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507919311523438 × 2 - 1) × π
    -0.015838623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0497585018056183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04803277} λ = -0.04803277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0497585018056183))-π/2
    2×atan(0.951459172429912)-π/2
    2×0.760529172602642-π/2
    1.52105834520528-1.57079632675     		φ = -0.04973798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04803277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.752075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04973798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.849776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64534 KachelY 66574 -0.04803277 -0.04973798 -2.752075 -2.849776
    Oben rechts KachelX + 1 64535 KachelY 66574 -0.04798484 -0.04973798 -2.749329 -2.849776
    Unten links KachelX 64534 KachelY + 1 66575 -0.04803277 -0.04978586 -2.752075 -2.852520
    Unten rechts KachelX + 1 64535 KachelY + 1 66575 -0.04798484 -0.04978586 -2.749329 -2.852520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04973798--0.04978586) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04973798--0.04978586) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04803277--0.04798484) × cos(-0.04973798) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998763321652409 × 6371000     		do = 304.984395389333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04803277--0.04798484) × cos(-0.04978586) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998760940034876 × 6371000     		du = 304.983668133768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04973798)-sin(-0.04978586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998763321652409-0.998760940034876)×R²
    abs(-0.04798484--0.04803277)×2.38161753240984e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.38161753240984e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38161753240984e-06×40589641000000     		ar = 93033.3904107389m²