Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64532 / 68548
↖ ↑ ↗
← S  8.244110°
W  2.757569°		 ← 302.27 m → S  8.244110°
W  2.754822°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.246828°
W  2.757569°		 ← 302.27 m →
91 377 m²		 S  8.246828°
W  2.754822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492343902587891 y=0.522983551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492343902587891 × 217)
    floor (0.492343902587891 × 131072)
    floor (64532.5)     		tx = 64532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522983551025391 × 217)
    floor (0.522983551025391 × 131072)
    floor (68548.5)     		ty = 68548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64532 / 68548 ti = "17/64532/68548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64532/68548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64532 ÷ 217
    64532 ÷ 131072     		x = 0.492340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68548 ÷ 217
    68548 ÷ 131072     		y = 0.522979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04812865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.144385941655609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04812865} λ = -0.04812865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144385941655609))-π/2
    2×atan(0.865553630387258)-π/2
    2×0.713454731198984-π/2
    1.42690946239797-1.57079632675     		φ = -0.14388686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04812865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.757569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14388686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.244110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64532 KachelY 68548 -0.04812865 -0.14388686 -2.757569 -8.244110
    Oben rechts KachelX + 1 64533 KachelY 68548 -0.04808071 -0.14388686 -2.754822 -8.244110
    Unten links KachelX 64532 KachelY + 1 68549 -0.04812865 -0.14393431 -2.757569 -8.246828
    Unten rechts KachelX + 1 64533 KachelY + 1 68549 -0.04808071 -0.14393431 -2.754822 -8.246828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14388686--0.14393431) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14388686--0.14393431) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04812865--0.04808071) × cos(-0.14388686) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989666133103635 × 6371000     		do = 302.269511056137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04812865--0.04808071) × cos(-0.14393431) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989659328092178 × 6371000     		du = 302.267432630477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14388686)-sin(-0.14393431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989666133103635-0.989659328092178)×R²
    abs(-0.04808071--0.04812865)×6.80501145744472e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.80501145744472e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.80501145744472e-06×40589641000000     		ar = 91376.9530158422m²