Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64532 / 68533
↖ ↑ ↗
← S  8.203335°
W  2.757569°		 ← 302.30 m → S  8.203335°
W  2.754822°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.206053°
W  2.757569°		 ← 302.30 m →
91 386 m²		 S  8.206053°
W  2.754822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492343902587891 y=0.522869110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492343902587891 × 217)
    floor (0.492343902587891 × 131072)
    floor (64532.5)     		tx = 64532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522869110107422 × 217)
    floor (0.522869110107422 × 131072)
    floor (68533.5)     		ty = 68533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64532 / 68533 ti = "17/64532/68533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64532/68533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64532 ÷ 217
    64532 ÷ 131072     		x = 0.492340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68533 ÷ 217
    68533 ÷ 131072     		y = 0.522865295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04812865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522865295410156 × 2 - 1) × π
    -0.0457305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.143666888161308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04812865} λ = -0.04812865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143666888161308))-π/2
    2×atan(0.866176233565363)-π/2
    2×0.71381056095805-π/2
    1.4276211219161-1.57079632675     		φ = -0.14317520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04812865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.757569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14317520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.203335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64532 KachelY 68533 -0.04812865 -0.14317520 -2.757569 -8.203335
    Oben rechts KachelX + 1 64533 KachelY 68533 -0.04808071 -0.14317520 -2.754822 -8.203335
    Unten links KachelX 64532 KachelY + 1 68534 -0.04812865 -0.14322265 -2.757569 -8.206053
    Unten rechts KachelX + 1 64533 KachelY + 1 68534 -0.04808071 -0.14322265 -2.754822 -8.206053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14317520--0.14322265) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14317520--0.14322265) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04812865--0.04808071) × cos(-0.14317520) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989767928036852 × 6371000     		do = 302.300601848943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04812865--0.04808071) × cos(-0.14322265) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.98976115644631 × 6371000     		du = 302.298533630891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14317520)-sin(-0.14322265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989767928036852-0.98976115644631)×R²
    abs(-0.04808071--0.04812865)×6.77159054174314e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.77159054174314e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.77159054174314e-06×40589641000000     		ar = 91386.3534282678m²