Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64531 / 66587
↖ ↑ ↗
← S  2.885437°
W  2.760315°		 ← 304.97 m → S  2.885437°
W  2.757569°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.888181°
W  2.760315°		 ← 304.97 m →
93 030 m²		 S  2.888181°
W  2.757569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492336273193359 y=0.508022308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492336273193359 × 217)
    floor (0.492336273193359 × 131072)
    floor (64531.5)     		tx = 64531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508022308349609 × 217)
    floor (0.508022308349609 × 131072)
    floor (66587.5)     		ty = 66587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64531 / 66587 ti = "17/64531/66587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64531/66587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64531 ÷ 217
    64531 ÷ 131072     		x = 0.492332458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66587 ÷ 217
    66587 ÷ 131072     		y = 0.508018493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492332458496094 × 2 - 1) × π
    -0.0153350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04817658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508018493652344 × 2 - 1) × π
    -0.0160369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.050381681500679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04817658} λ = -0.04817658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.050381681500679))-π/2
    2×atan(0.950866427105583)-π/2
    2×0.760217972932609-π/2
    1.52043594586522-1.57079632675     		φ = -0.05036038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04817658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.760315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05036038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.885437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64531 KachelY 66587 -0.04817658 -0.05036038 -2.760315 -2.885437
    Oben rechts KachelX + 1 64532 KachelY 66587 -0.04812865 -0.05036038 -2.757569 -2.885437
    Unten links KachelX 64531 KachelY + 1 66588 -0.04817658 -0.05040826 -2.760315 -2.888181
    Unten rechts KachelX + 1 64532 KachelY + 1 66588 -0.04812865 -0.05040826 -2.757569 -2.888181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05036038--0.05040826) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05036038--0.05040826) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04817658--0.04812865) × cos(-0.05036038) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998732184046617 × 6371000     		do = 304.974887146775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04817658--0.04812865) × cos(-0.05040826) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998729772665925 × 6371000     		du = 304.974150802671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05036038)-sin(-0.05040826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998732184046617-0.998729772665925)×R²
    abs(-0.04812865--0.04817658)×2.41138069212443e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.41138069212443e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.41138069212443e-06×40589641000000     		ar = 93030.4885971552m²