Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64521 / 45241
↖ ↑ ↗
← N 48.587509°
W  2.787781°		 ← 201.99 m → N 48.587509°
W  2.785034°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 48.585692°
W  2.787781°		 ← 202 m →
40 808 m²		 N 48.585692°
W  2.785034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492259979248047 y=0.345165252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492259979248047 × 217)
    floor (0.492259979248047 × 131072)
    floor (64521.5)     		tx = 64521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345165252685547 × 217)
    floor (0.345165252685547 × 131072)
    floor (45241.5)     		ty = 45241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64521 / 45241 ti = "17/64521/45241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64521/45241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64521 ÷ 217
    64521 ÷ 131072     		x = 0.492256164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45241 ÷ 217
    45241 ÷ 131072     		y = 0.345161437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492256164550781 × 2 - 1) × π
    -0.0154876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04865595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345161437988281 × 2 - 1) × π
    0.309677124023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.97287937778904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04865595} λ = -0.04865595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97287937778904))-π/2
    2×atan(2.64555104389903)-π/2
    2×1.20940416783437-π/2
    2.41880833566875-1.57079632675     		φ = 0.84801201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04865595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.787781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84801201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.587509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64521 KachelY 45241 -0.04865595 0.84801201 -2.787781 48.587509
    Oben rechts KachelX + 1 64522 KachelY 45241 -0.04860802 0.84801201 -2.785034 48.587509
    Unten links KachelX 64521 KachelY + 1 45242 -0.04865595 0.84798030 -2.787781 48.585692
    Unten rechts KachelX + 1 64522 KachelY + 1 45242 -0.04860802 0.84798030 -2.785034 48.585692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84801201-0.84798030) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84801201-0.84798030) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04865595--0.04860802) × cos(0.84801201) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.661475378673163 × 6371000     		do = 201.989464426662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04865595--0.04860802) × cos(0.84798030) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.661499159790408 × 6371000     		du = 201.9967262769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84801201)-sin(0.84798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661475378673163-0.661499159790408)×R²
    abs(-0.04860802--0.04865595)×2.3781117244992e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3781117244992e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3781117244992e-05×40589641000000     		ar = 40807.5359159522m²