Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64509 / 44901
↖ ↑ ↗
← N 49.201448°
W  2.820740°		 ← 199.57 m → N 49.201448°
W  2.817993°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
N 49.199653°
W  2.820740°		 ← 199.57 m →
39 835 m²		 N 49.199653°
W  2.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492168426513672 y=0.342571258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492168426513672 × 217)
    floor (0.492168426513672 × 131072)
    floor (64509.5)     		tx = 64509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342571258544922 × 217)
    floor (0.342571258544922 × 131072)
    floor (44901.5)     		ty = 44901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64509 / 44901 ti = "17/64509/44901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64509/44901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64509 ÷ 217
    64509 ÷ 131072     		x = 0.492164611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44901 ÷ 217
    44901 ÷ 131072     		y = 0.342567443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492164611816406 × 2 - 1) × π
    -0.0156707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04923120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342567443847656 × 2 - 1) × π
    0.314865112304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.989177923659859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04923120} λ = -0.04923120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989177923659859))-π/2
    2×atan(2.68902298129555)-π/2
    2×1.21476179692398-π/2
    2.42952359384796-1.57079632675     		φ = 0.85872727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04923120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.820740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85872727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.201448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64509 KachelY 44901 -0.04923120 0.85872727 -2.820740 49.201448
    Oben rechts KachelX + 1 64510 KachelY 44901 -0.04918326 0.85872727 -2.817993 49.201448
    Unten links KachelX 64509 KachelY + 1 44902 -0.04923120 0.85869594 -2.820740 49.199653
    Unten rechts KachelX + 1 64510 KachelY + 1 44902 -0.04918326 0.85869594 -2.817993 49.199653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85872727-0.85869594) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85872727-0.85869594) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04923120--0.04918326) × cos(0.85872727) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.653401468446106 × 6371000     		do = 199.565627017252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04923120--0.04918326) × cos(0.85869594) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.653425185297992 × 6371000     		du = 199.57287075429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85872727)-sin(0.85869594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653401468446106-0.653425185297992)×R²
    abs(-0.04918326--0.04923120)×2.37168518859576e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37168518859576e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37168518859576e-05×40589641000000     		ar = 39834.7066035349m²