Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64504 / 45324
↖ ↑ ↗
← N 48.436490°
W  2.834473°		 ← 202.63 m → N 48.436490°
W  2.831726°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 48.434668°
W  2.834473°		 ← 202.64 m →
41 067 m²		 N 48.434668°
W  2.831726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492130279541016 y=0.345798492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492130279541016 × 217)
    floor (0.492130279541016 × 131072)
    floor (64504.5)     		tx = 64504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345798492431641 × 217)
    floor (0.345798492431641 × 131072)
    floor (45324.5)     		ty = 45324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64504 / 45324 ti = "17/64504/45324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64504/45324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64504 ÷ 217
    64504 ÷ 131072     		x = 0.49212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45324 ÷ 217
    45324 ÷ 131072     		y = 0.345794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345794677734375 × 2 - 1) × π
    0.30841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.968900615120575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04947088} λ = -0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968900615120575))-π/2
    2×atan(2.63504593669071)-π/2
    2×1.20808627730846-π/2
    2.41617255461691-1.57079632675     		φ = 0.84537623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84537623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.436490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64504 KachelY 45324 -0.04947088 0.84537623 -2.834473 48.436490
    Oben rechts KachelX + 1 64505 KachelY 45324 -0.04942294 0.84537623 -2.831726 48.436490
    Unten links KachelX 64504 KachelY + 1 45325 -0.04947088 0.84534442 -2.834473 48.434668
    Unten rechts KachelX + 1 64505 KachelY + 1 45325 -0.04942294 0.84534442 -2.831726 48.434668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84537623-0.84534442) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84537623-0.84534442) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04947088--0.04942294) × cos(0.84537623) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.663449826346744 × 6371000     		do = 202.634654164839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04947088--0.04942294) × cos(0.84534442) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.663473626913923 × 6371000     		du = 202.641923470683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84537623)-sin(0.84534442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663449826346744-0.663473626913923)×R²
    abs(-0.04942294--0.04947088)×2.38005671794328e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.38005671794328e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.38005671794328e-05×40589641000000     		ar = 41066.9815989309m²