Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64500 / 45329
↖ ↑ ↗
← N 48.427378°
W  2.845459°		 ← 202.67 m → N 48.427378°
W  2.842712°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 48.425555°
W  2.845459°		 ← 202.68 m →
41 074 m²		 N 48.425555°
W  2.842712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492099761962891 y=0.345836639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492099761962891 × 217)
    floor (0.492099761962891 × 131072)
    floor (64500.5)     		tx = 64500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345836639404297 × 217)
    floor (0.345836639404297 × 131072)
    floor (45329.5)     		ty = 45329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64500 / 45329 ti = "17/64500/45329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64500/45329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64500 ÷ 217
    64500 ÷ 131072     		x = 0.492095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45329 ÷ 217
    45329 ÷ 131072     		y = 0.345832824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.01580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04966263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345832824707031 × 2 - 1) × π
    0.308334350585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.968660930622475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04966263} λ = -0.04966263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968660930622475))-π/2
    2×atan(2.63441443271178)-π/2
    2×1.20800676085937-π/2
    2.41601352171874-1.57079632675     		φ = 0.84521719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04966263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84521719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.427378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64500 KachelY 45329 -0.04966263 0.84521719 -2.845459 48.427378
    Oben rechts KachelX + 1 64501 KachelY 45329 -0.04961469 0.84521719 -2.842712 48.427378
    Unten links KachelX 64500 KachelY + 1 45330 -0.04966263 0.84518538 -2.845459 48.425555
    Unten rechts KachelX + 1 64501 KachelY + 1 45330 -0.04961469 0.84518538 -2.842712 48.425555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84521719-0.84518538) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84521719-0.84518538) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04966263--0.04961469) × cos(0.84521719) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.663568814987717 × 6371000     		do = 202.670996358531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04966263--0.04961469) × cos(0.84518538) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		du = 202.678264639122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84521719)-sin(0.84518538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663568814987717-0.663592612198101)×R²
    abs(-0.04961469--0.04966263)×2.37972103841466e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37972103841466e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37972103841466e-05×40589641000000     		ar = 41074.3466589959m²