Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64494 / 45274
↖ ↑ ↗
← N 48.527519°
W  2.861939°		 ← 202.27 m → N 48.527519°
W  2.859192°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
N 48.525700°
W  2.861939°		 ← 202.28 m →
40 916 m²		 N 48.525700°
W  2.859192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492053985595703 y=0.345417022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492053985595703 × 217)
    floor (0.492053985595703 × 131072)
    floor (64494.5)     		tx = 64494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345417022705078 × 217)
    floor (0.345417022705078 × 131072)
    floor (45274.5)     		ty = 45274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64494 / 45274 ti = "17/64494/45274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64494/45274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64494 ÷ 217
    64494 ÷ 131072     		x = 0.492050170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45274 ÷ 217
    45274 ÷ 131072     		y = 0.345413208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492050170898438 × 2 - 1) × π
    -0.015899658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04995025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345413208007812 × 2 - 1) × π
    0.309173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.971297460101578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04995025} λ = -0.04995025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971297460101578))-π/2
    2×atan(2.64136930836236)-π/2
    2×1.20888065764746-π/2
    2.41776131529492-1.57079632675     		φ = 0.84696499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04995025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.861939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84696499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.527519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64494 KachelY 45274 -0.04995025 0.84696499 -2.861939 48.527519
    Oben rechts KachelX + 1 64495 KachelY 45274 -0.04990231 0.84696499 -2.859192 48.527519
    Unten links KachelX 64494 KachelY + 1 45275 -0.04995025 0.84693324 -2.861939 48.525700
    Unten rechts KachelX + 1 64495 KachelY + 1 45275 -0.04990231 0.84693324 -2.859192 48.525700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84696499-0.84693324) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84696499-0.84693324) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04995025--0.04990231) × cos(0.84696499) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.662260246282556 × 6371000     		do = 202.271325793446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04995025--0.04990231) × cos(0.84693324) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.662284035394843 × 6371000     		du = 202.27859160067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84696499)-sin(0.84693324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662260246282556-0.662284035394843)×R²
    abs(-0.04990231--0.04995025)×2.37891122873979e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37891122873979e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37891122873979e-05×40589641000000     		ar = 40916.0269426105m²