Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64474 / 45205
↖ ↑ ↗
← N 48.652872°
W  2.916870°		 ← 201.77 m → N 48.652872°
W  2.914124°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
N 48.651057°
W  2.916870°		 ← 201.78 m →
40 712 m²		 N 48.651057°
W  2.914124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491901397705078 y=0.344890594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491901397705078 × 217)
    floor (0.491901397705078 × 131072)
    floor (64474.5)     		tx = 64474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344890594482422 × 217)
    floor (0.344890594482422 × 131072)
    floor (45205.5)     		ty = 45205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64474 / 45205 ti = "17/64474/45205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64474/45205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64474 ÷ 217
    64474 ÷ 131072     		x = 0.491897583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45205 ÷ 217
    45205 ÷ 131072     		y = 0.344886779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491897583007812 × 2 - 1) × π
    -0.016204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05090899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344886779785156 × 2 - 1) × π
    0.310226440429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.974605106175362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05090899} λ = -0.05090899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974605106175362))-π/2
    2×atan(2.65012048810871)-π/2
    2×1.20997456193737-π/2
    2.41994912387475-1.57079632675     		φ = 0.84915280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05090899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.916870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84915280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.652872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64474 KachelY 45205 -0.05090899 0.84915280 -2.916870 48.652872
    Oben rechts KachelX + 1 64475 KachelY 45205 -0.05086105 0.84915280 -2.914124 48.652872
    Unten links KachelX 64474 KachelY + 1 45206 -0.05090899 0.84912113 -2.916870 48.651057
    Unten rechts KachelX + 1 64475 KachelY + 1 45206 -0.05086105 0.84912113 -2.914124 48.651057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84915280-0.84912113) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84915280-0.84912113) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05090899--0.05086105) × cos(0.84915280) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660619393717353 × 6371000     		do = 201.770167184488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05090899--0.05086105) × cos(0.84912113) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660643168720055 × 6371000     		du = 201.777428682281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84915280)-sin(0.84912113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660619393717353-0.660643168720055)×R²
    abs(-0.05086105--0.05090899)×2.37750027016759e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37750027016759e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37750027016759e-05×40589641000000     		ar = 40711.8124498325m²