Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64462 / 45159
↖ ↑ ↗
← N 48.736267°
W  2.949829°		 ← 201.44 m → N 48.736267°
W  2.947082°		 →
↑
201.39 m
↓
↑
201.39 m
↓
N 48.734456°
W  2.949829°		 ← 201.44 m →
40 567 m²		 N 48.734456°
W  2.947082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491809844970703 y=0.344539642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491809844970703 × 217)
    floor (0.491809844970703 × 131072)
    floor (64462.5)     		tx = 64462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344539642333984 × 217)
    floor (0.344539642333984 × 131072)
    floor (45159.5)     		ty = 45159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64462 / 45159 ti = "17/64462/45159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64462/45159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64462 ÷ 217
    64462 ÷ 131072     		x = 0.491806030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45159 ÷ 217
    45159 ÷ 131072     		y = 0.344535827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491806030273438 × 2 - 1) × π
    -0.016387939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05148423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344535827636719 × 2 - 1) × π
    0.310928344726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.976810203557884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05148423} λ = -0.05148423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976810203557884))-π/2
    2×atan(2.65597070964397)-π/2
    2×1.21070232419076-π/2
    2.42140464838152-1.57079632675     		φ = 0.85060832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05148423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.949829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85060832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.736267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64462 KachelY 45159 -0.05148423 0.85060832 -2.949829 48.736267
    Oben rechts KachelX + 1 64463 KachelY 45159 -0.05143629 0.85060832 -2.947082 48.736267
    Unten links KachelX 64462 KachelY + 1 45160 -0.05148423 0.85057671 -2.949829 48.734456
    Unten rechts KachelX + 1 64463 KachelY + 1 45160 -0.05143629 0.85057671 -2.947082 48.734456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85060832-0.85057671) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dl = 201.387309999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85060832-0.85057671) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dr = 201.387309999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05148423--0.05143629) × cos(0.85060832) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.659526004902673 × 6371000     		do = 201.436218096627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05148423--0.05143629) × cos(0.85057671) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.659549765233197 × 6371000     		du = 201.44347511316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85060832)-sin(0.85057671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659526004902673-0.659549765233197)×R²
    abs(-0.05143629--0.05148423)×2.37603305238698e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37603305238698e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37603305238698e-05×40589641000000     		ar = 40567.4288379939m²