Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64462 / 45100
↖ ↑ ↗
← N 48.843028°
W  2.949829°		 ← 201.01 m → N 48.843028°
W  2.947082°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 48.841221°
W  2.949829°		 ← 201.02 m →
40 404 m²		 N 48.841221°
W  2.947082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491809844970703 y=0.344089508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491809844970703 × 217)
    floor (0.491809844970703 × 131072)
    floor (64462.5)     		tx = 64462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344089508056641 × 217)
    floor (0.344089508056641 × 131072)
    floor (45100.5)     		ty = 45100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64462 / 45100 ti = "17/64462/45100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64462/45100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64462 ÷ 217
    64462 ÷ 131072     		x = 0.491806030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45100 ÷ 217
    45100 ÷ 131072     		y = 0.344085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491806030273438 × 2 - 1) × π
    -0.016387939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05148423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344085693359375 × 2 - 1) × π
    0.31182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979638480635468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05148423} λ = -0.05148423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979638480635468))-π/2
    2×atan(2.66349316349825)-π/2
    2×1.21163399409059-π/2
    2.42326798818118-1.57079632675     		φ = 0.85247166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05148423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.949829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85247166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.843028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64462 KachelY 45100 -0.05148423 0.85247166 -2.949829 48.843028
    Oben rechts KachelX + 1 64463 KachelY 45100 -0.05143629 0.85247166 -2.947082 48.843028
    Unten links KachelX 64462 KachelY + 1 45101 -0.05148423 0.85244011 -2.949829 48.841221
    Unten rechts KachelX + 1 64463 KachelY + 1 45101 -0.05143629 0.85244011 -2.947082 48.841221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85247166-0.85244011) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85247166-0.85244011) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05148423--0.05143629) × cos(0.85247166) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658124222097955 × 6371000     		do = 201.008077546177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05148423--0.05143629) × cos(0.85244011) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.658147976060792 × 6371000     		du = 201.015332617854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85247166)-sin(0.85244011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658124222097955-0.658147976060792)×R²
    abs(-0.05143629--0.05148423)×2.37539628367145e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37539628367145e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37539628367145e-05×40589641000000     		ar = 40404.3678340194m²