Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64461 / 45190
↖ ↑ ↗
← N 48.680081°
W  2.952576°		 ← 201.66 m → N 48.680081°
W  2.949829°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
N 48.678267°
W  2.952576°		 ← 201.67 m →
40 664 m²		 N 48.678267°
W  2.949829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491802215576172 y=0.344776153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491802215576172 × 217)
    floor (0.491802215576172 × 131072)
    floor (64461.5)     		tx = 64461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344776153564453 × 217)
    floor (0.344776153564453 × 131072)
    floor (45190.5)     		ty = 45190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64461 / 45190 ti = "17/64461/45190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64461/45190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64461 ÷ 217
    64461 ÷ 131072     		x = 0.491798400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45190 ÷ 217
    45190 ÷ 131072     		y = 0.344772338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491798400878906 × 2 - 1) × π
    -0.0164031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05153217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344772338867188 × 2 - 1) × π
    0.310455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.975324159669662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05153217} λ = -0.05153217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975324159669662))-π/2
    2×atan(2.65202675177664)-π/2
    2×1.21021200817744-π/2
    2.42042401635488-1.57079632675     		φ = 0.84962769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05153217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.952576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84962769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.680081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64461 KachelY 45190 -0.05153217 0.84962769 -2.952576 48.680081
    Oben rechts KachelX + 1 64462 KachelY 45190 -0.05148423 0.84962769 -2.949829 48.680081
    Unten links KachelX 64461 KachelY + 1 45191 -0.05153217 0.84959604 -2.952576 48.678267
    Unten rechts KachelX + 1 64462 KachelY + 1 45191 -0.05148423 0.84959604 -2.949829 48.678267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84962769-0.84959604) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dl = 201.642150000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84962769-0.84959604) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dr = 201.642150000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05153217--0.05148423) × cos(0.84962769) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660262809344464 × 6371000     		do = 201.661257138525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05153217--0.05148423) × cos(0.84959604) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.66028657925995 × 6371000     		du = 201.668517082552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84962769)-sin(0.84959604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660262809344464-0.66028657925995)×R²
    abs(-0.05148423--0.05153217)×2.37699154859161e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37699154859161e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37699154859161e-05×40589641000000     		ar = 40664.1414199056m²