Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64458 / 45191
↖ ↑ ↗
← N 48.678267°
W  2.960816°		 ← 201.67 m → N 48.678267°
W  2.958069°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
N 48.676454°
W  2.960816°		 ← 201.68 m →
40 666 m²		 N 48.676454°
W  2.958069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491779327392578 y=0.344783782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491779327392578 × 217)
    floor (0.491779327392578 × 131072)
    floor (64458.5)     		tx = 64458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344783782958984 × 217)
    floor (0.344783782958984 × 131072)
    floor (45191.5)     		ty = 45191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64458 / 45191 ti = "17/64458/45191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64458/45191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64458 ÷ 217
    64458 ÷ 131072     		x = 0.491775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45191 ÷ 217
    45191 ÷ 131072     		y = 0.344779968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.016448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05167598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344779968261719 × 2 - 1) × π
    0.310440063476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.975276222770042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05167598} λ = -0.05167598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975276222770042))-π/2
    2×atan(2.65189962488351)-π/2
    2×1.21019618241655-π/2
    2.42039236483309-1.57079632675     		φ = 0.84959604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05167598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.960816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84959604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.678267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64458 KachelY 45191 -0.05167598 0.84959604 -2.960816 48.678267
    Oben rechts KachelX + 1 64459 KachelY 45191 -0.05162804 0.84959604 -2.958069 48.678267
    Unten links KachelX 64458 KachelY + 1 45192 -0.05167598 0.84956439 -2.960816 48.676454
    Unten rechts KachelX + 1 64459 KachelY + 1 45192 -0.05162804 0.84956439 -2.958069 48.676454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84959604-0.84956439) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dl = 201.642150000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84959604-0.84956439) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dr = 201.642150000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05167598--0.05162804) × cos(0.84959604) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.66028657925995 × 6371000     		do = 201.668517082552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05167598--0.05162804) × cos(0.84956439) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660310348514012 × 6371000     		du = 201.675776824564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84959604)-sin(0.84956439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66028657925995-0.660310348514012)×R²
    abs(-0.05162804--0.05167598)×2.37692540620005e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37692540620005e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37692540620005e-05×40589641000000     		ar = 40665.6053102012m²