Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64436 / 45204
↖ ↑ ↗
← N 48.654686°
W  3.021240°		 ← 201.76 m → N 48.654686°
W  3.018493°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 48.652872°
W  3.021240°		 ← 201.77 m →
40 697 m²		 N 48.652872°
W  3.018493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491611480712891 y=0.344882965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491611480712891 × 217)
    floor (0.491611480712891 × 131072)
    floor (64436.5)     		tx = 64436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344882965087891 × 217)
    floor (0.344882965087891 × 131072)
    floor (45204.5)     		ty = 45204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64436 / 45204 ti = "17/64436/45204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64436/45204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64436 ÷ 217
    64436 ÷ 131072     		x = 0.491607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45204 ÷ 217
    45204 ÷ 131072     		y = 0.344879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.01678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05273059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344879150390625 × 2 - 1) × π
    0.31024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.974653043074982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05273059} λ = -0.05273059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974653043074982))-π/2
    2×atan(2.65024752971349)-π/2
    2×1.2099903956753-π/2
    2.4199807913506-1.57079632675     		φ = 0.84918446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05273059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.021240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84918446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.654686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64436 KachelY 45204 -0.05273059 0.84918446 -3.021240 48.654686
    Oben rechts KachelX + 1 64437 KachelY 45204 -0.05268265 0.84918446 -3.018493 48.654686
    Unten links KachelX 64436 KachelY + 1 45205 -0.05273059 0.84915280 -3.021240 48.652872
    Unten rechts KachelX + 1 64437 KachelY + 1 45205 -0.05268265 0.84915280 -3.018493 48.652872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84918446-0.84915280) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84918446-0.84915280) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05273059--0.05268265) × cos(0.84918446) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660595625559477 × 6371000     		do = 201.76290777728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05273059--0.05268265) × cos(0.84915280) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.660619393717353 × 6371000     		du = 201.770167184488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84918446)-sin(0.84915280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660595625559477-0.660619393717353)×R²
    abs(-0.05268265--0.05273059)×2.37681578764137e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37681578764137e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37681578764137e-05×40589641000000     		ar = 40697.4929651656m²