Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64410 / 45135
↖ ↑ ↗
← N 48.779723°
W  3.092651°		 ← 201.26 m → N 48.779723°
W  3.089905°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 48.777913°
W  3.092651°		 ← 201.27 m →
40 507 m²		 N 48.777913°
W  3.089905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491413116455078 y=0.344356536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491413116455078 × 217)
    floor (0.491413116455078 × 131072)
    floor (64410.5)     		tx = 64410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344356536865234 × 217)
    floor (0.344356536865234 × 131072)
    floor (45135.5)     		ty = 45135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64410 / 45135 ti = "17/64410/45135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64410/45135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64410 ÷ 217
    64410 ÷ 131072     		x = 0.491409301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45135 ÷ 217
    45135 ÷ 131072     		y = 0.344352722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491409301757812 × 2 - 1) × π
    -0.017181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05397695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344352722167969 × 2 - 1) × π
    0.311294555664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.977960689148766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05397695} λ = -0.05397695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977960689148766))-π/2
    2×atan(2.65902812409361)-π/2
    2×1.21108154773671-π/2
    2.42216309547342-1.57079632675     		φ = 0.85136677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05397695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.092651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85136677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.779723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64410 KachelY 45135 -0.05397695 0.85136677 -3.092651 48.779723
    Oben rechts KachelX + 1 64411 KachelY 45135 -0.05392901 0.85136677 -3.089905 48.779723
    Unten links KachelX 64410 KachelY + 1 45136 -0.05397695 0.85133518 -3.092651 48.777913
    Unten rechts KachelX + 1 64411 KachelY + 1 45136 -0.05392901 0.85133518 -3.089905 48.777913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85136677-0.85133518) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dl = 201.259890000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85136677-0.85133518) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dr = 201.259890000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05397695--0.05392901) × cos(0.85136677) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658955702241306 × 6371000     		do = 201.262032984284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05397695--0.05392901) × cos(0.85133518) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.658979463333936 × 6371000     		du = 201.269290233584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85136677)-sin(0.85133518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658955702241306-0.658979463333936)×R²
    abs(-0.05392901--0.05397695)×2.37610926298037e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37610926298037e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37610926298037e-05×40589641000000     		ar = 40506.7049196001m²