Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64383 / 45146
↖ ↑ ↗
← N 48.759810°
W  3.166809°		 ← 201.34 m → N 48.759810°
W  3.164063°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 48.758000°
W  3.166809°		 ← 201.35 m →
40 536 m²		 N 48.758000°
W  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491207122802734 y=0.344440460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491207122802734 × 217)
    floor (0.491207122802734 × 131072)
    floor (64383.5)     		tx = 64383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344440460205078 × 217)
    floor (0.344440460205078 × 131072)
    floor (45146.5)     		ty = 45146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64383 / 45146 ti = "17/64383/45146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64383/45146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64383 ÷ 217
    64383 ÷ 131072     		x = 0.491203308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45146 ÷ 217
    45146 ÷ 131072     		y = 0.344436645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491203308105469 × 2 - 1) × π
    -0.0175933837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05527125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344436645507812 × 2 - 1) × π
    0.311126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.977433383252945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05527125} λ = -0.05527125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977433383252945))-π/2
    2×atan(2.65762637249505)-π/2
    2×1.21090777766758-π/2
    2.42181555533517-1.57079632675     		φ = 0.85101923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05527125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.166809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85101923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.759810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64383 KachelY 45146 -0.05527125 0.85101923 -3.166809 48.759810
    Oben rechts KachelX + 1 64384 KachelY 45146 -0.05522331 0.85101923 -3.164063 48.759810
    Unten links KachelX 64383 KachelY + 1 45147 -0.05527125 0.85098763 -3.166809 48.758000
    Unten rechts KachelX + 1 64384 KachelY + 1 45147 -0.05522331 0.85098763 -3.164063 48.758000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85101923-0.85098763) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85101923-0.85098763) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05527125--0.05522331) × cos(0.85101923) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.65921707568518 × 6371000     		do = 201.341863161796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05527125--0.05522331) × cos(0.85098763) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.659240837061028 × 6371000     		du = 201.349120497598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85101923)-sin(0.85098763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65921707568518-0.659240837061028)×R²
    abs(-0.05522331--0.05527125)×2.37613758478084e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37613758478084e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37613758478084e-05×40589641000000     		ar = 40535.5992624462m²