Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64376 / 45141
↖ ↑ ↗
← N 48.768862°
W  3.186035°		 ← 201.26 m → N 48.768862°
W  3.183289°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 48.767052°
W  3.186035°		 ← 201.27 m →
40 520 m²		 N 48.767052°
W  3.183289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491153717041016 y=0.344402313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491153717041016 × 217)
    floor (0.491153717041016 × 131072)
    floor (64376.5)     		tx = 64376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344402313232422 × 217)
    floor (0.344402313232422 × 131072)
    floor (45141.5)     		ty = 45141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64376 / 45141 ti = "17/64376/45141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64376/45141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64376 ÷ 217
    64376 ÷ 131072     		x = 0.49114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45141 ÷ 217
    45141 ÷ 131072     		y = 0.344398498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05560680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344398498535156 × 2 - 1) × π
    0.311203002929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.977673067751045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05560680} λ = -0.05560680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977673067751045))-π/2
    2×atan(2.65826344068291)-π/2
    2×1.21098677260545-π/2
    2.4219735452109-1.57079632675     		φ = 0.85117722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05560680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85117722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.768862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64376 KachelY 45141 -0.05560680 0.85117722 -3.186035 48.768862
    Oben rechts KachelX + 1 64377 KachelY 45141 -0.05555887 0.85117722 -3.183289 48.768862
    Unten links KachelX 64376 KachelY + 1 45142 -0.05560680 0.85114562 -3.186035 48.767052
    Unten rechts KachelX + 1 64377 KachelY + 1 45142 -0.05555887 0.85114562 -3.183289 48.767052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85117722-0.85114562) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dl = 201.323599999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85117722-0.85114562) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dr = 201.323599999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05560680--0.05555887) × cos(0.85117722) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.659098266452967 × 6371000     		do = 201.263584613536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05560680--0.05555887) × cos(0.85114562) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.659122031119708 × 6371000     		du = 201.270841440415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85117722)-sin(0.85114562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659098266452967-0.659122031119708)×R²
    abs(-0.05555887--0.05560680)×2.3764666741144e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.3764666741144e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.3764666741144e-05×40589641000000     		ar = 40519.8398918578m²