Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64340 / 44652
↖ ↑ ↗
← N 49.646292°
W  3.284912°		 ← 197.72 m → N 49.646292°
W  3.282166°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
N 49.644513°
W  3.284912°		 ← 197.73 m →
39 102 m²		 N 49.644513°
W  3.282166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490879058837891 y=0.340671539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490879058837891 × 217)
    floor (0.490879058837891 × 131072)
    floor (64340.5)     		tx = 64340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340671539306641 × 217)
    floor (0.340671539306641 × 131072)
    floor (44652.5)     		ty = 44652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64340 / 44652 ti = "17/64340/44652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64340/44652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64340 ÷ 217
    64340 ÷ 131072     		x = 0.490875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44652 ÷ 217
    44652 ÷ 131072     		y = 0.340667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.01824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05733253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340667724609375 × 2 - 1) × π
    0.31866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00111421166525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05733253} λ = -0.05733253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00111421166525))-π/2
    2×atan(2.72131225773807)-π/2
    2×1.21864378666204-π/2
    2.43728757332407-1.57079632675     		φ = 0.86649125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05733253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.284912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86649125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.646292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64340 KachelY 44652 -0.05733253 0.86649125 -3.284912 49.646292
    Oben rechts KachelX + 1 64341 KachelY 44652 -0.05728460 0.86649125 -3.282166 49.646292
    Unten links KachelX 64340 KachelY + 1 44653 -0.05733253 0.86646021 -3.284912 49.644513
    Unten rechts KachelX + 1 64341 KachelY + 1 44653 -0.05728460 0.86646021 -3.282166 49.644513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86649125-0.86646021) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dl = 197.755840000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86649125-0.86646021) × R
    3.10400000000932e-05 × 6371000     		dr = 197.755840000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05733253--0.05728460) × cos(0.86649125) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647504411563933 × 6371000     		do = 197.723261549124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05733253--0.05728460) × cos(0.86646021) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647528065647216 × 6371000     		du = 197.730484608014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86649125)-sin(0.86646021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647504411563933-0.647528065647216)×R²
    abs(-0.05728460--0.05733253)×2.36540832837528e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36540832837528e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36540832837528e-05×40589641000000     		ar = 39101.6438794446m²