Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64308 / 44646
↖ ↑ ↗
← N 49.656961°
W  3.372803°		 ← 197.68 m → N 49.656961°
W  3.370056°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 49.655183°
W  3.372803°		 ← 197.69 m →
39 080 m²		 N 49.655183°
W  3.370056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490634918212891 y=0.340625762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490634918212891 × 217)
    floor (0.490634918212891 × 131072)
    floor (64308.5)     		tx = 64308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340625762939453 × 217)
    floor (0.340625762939453 × 131072)
    floor (44646.5)     		ty = 44646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64308 / 44646 ti = "17/64308/44646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64308/44646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64308 ÷ 217
    64308 ÷ 131072     		x = 0.490631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44646 ÷ 217
    44646 ÷ 131072     		y = 0.340621948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.01873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05886651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340621948242188 × 2 - 1) × π
    0.318756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00140183306297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05886651} λ = -0.05886651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00140183306297))-π/2
    2×atan(2.7220950779458)-π/2
    2×1.21873689451951-π/2
    2.43747378903903-1.57079632675     		φ = 0.86667746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05886651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.372803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86667746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.656961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64308 KachelY 44646 -0.05886651 0.86667746 -3.372803 49.656961
    Oben rechts KachelX + 1 64309 KachelY 44646 -0.05881858 0.86667746 -3.370056 49.656961
    Unten links KachelX 64308 KachelY + 1 44647 -0.05886651 0.86664643 -3.372803 49.655183
    Unten rechts KachelX + 1 64309 KachelY + 1 44647 -0.05881858 0.86664643 -3.370056 49.655183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86667746-0.86664643) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dl = 197.692130000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86667746-0.86664643) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dr = 197.692130000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05886651--0.05881858) × cos(0.86667746) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.647362496829466 × 6371000     		do = 197.679926177692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05886651--0.05881858) × cos(0.86664643) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.647386147033334 × 6371000     		du = 197.687148051955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86667746)-sin(0.86664643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647362496829466-0.647386147033334)×R²
    abs(-0.05881858--0.05886651)×2.36502038688524e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.36502038688524e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.36502038688524e-05×40589641000000     		ar = 39080.4795212935m²