Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64295 / 44693
↖ ↑ ↗
← N 49.573321°
W  3.408508°		 ← 198.02 m → N 49.573321°
W  3.405762°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
N 49.571540°
W  3.408508°		 ← 198.03 m →
39 223 m²		 N 49.571540°
W  3.405762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490535736083984 y=0.340984344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490535736083984 × 217)
    floor (0.490535736083984 × 131072)
    floor (64295.5)     		tx = 64295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340984344482422 × 217)
    floor (0.340984344482422 × 131072)
    floor (44693.5)     		ty = 44693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64295 / 44693 ti = "17/64295/44693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64295/44693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64295 ÷ 217
    64295 ÷ 131072     		x = 0.490531921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44693 ÷ 217
    44693 ÷ 131072     		y = 0.340980529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490531921386719 × 2 - 1) × π
    -0.0189361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05948969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340980529785156 × 2 - 1) × π
    0.318038940429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.99914879878083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05948969} λ = -0.05948969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99914879878083))-π/2
    2×atan(2.71596900813)-π/2
    2×1.21800700331764-π/2
    2.43601400663528-1.57079632675     		φ = 0.86521768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05948969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.408508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86521768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.573321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64295 KachelY 44693 -0.05948969 0.86521768 -3.408508 49.573321
    Oben rechts KachelX + 1 64296 KachelY 44693 -0.05944176 0.86521768 -3.405762 49.573321
    Unten links KachelX 64295 KachelY + 1 44694 -0.05948969 0.86518659 -3.408508 49.571540
    Unten rechts KachelX + 1 64296 KachelY + 1 44694 -0.05944176 0.86518659 -3.405762 49.571540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86521768-0.86518659) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86521768-0.86518659) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05948969--0.05944176) × cos(0.86521768) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.648474425103132 × 6371000     		do = 198.019466852553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05948969--0.05944176) × cos(0.86518659) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.648498091630693 × 6371000     		du = 198.026693711452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86521768)-sin(0.86518659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648474425103132-0.648498091630693)×R²
    abs(-0.05944176--0.05948969)×2.36665275610282e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.36665275610282e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.36665275610282e-05×40589641000000     		ar = 39223.3008359936m²