Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64266 / 45834
↖ ↑ ↗
← N 47.498648°
W  3.488159°		 ← 206.30 m → N 47.498648°
W  3.485413°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
N 47.496792°
W  3.488159°		 ← 206.31 m →
42 573 m²		 N 47.496792°
W  3.485413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490314483642578 y=0.349689483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490314483642578 × 217)
    floor (0.490314483642578 × 131072)
    floor (64266.5)     		tx = 64266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349689483642578 × 217)
    floor (0.349689483642578 × 131072)
    floor (45834.5)     		ty = 45834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64266 / 45834 ti = "17/64266/45834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64266/45834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64266 ÷ 217
    64266 ÷ 131072     		x = 0.490310668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45834 ÷ 217
    45834 ÷ 131072     		y = 0.349685668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490310668945312 × 2 - 1) × π
    -0.019378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06087986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349685668945312 × 2 - 1) × π
    0.300628662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.944452796314346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06087986} λ = -0.06087986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944452796314346))-π/2
    2×atan(2.57140591074598)-π/2
    2×1.19990206108693-π/2
    2.39980412217387-1.57079632675     		φ = 0.82900780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06087986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.488159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82900780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.498648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64266 KachelY 45834 -0.06087986 0.82900780 -3.488159 47.498648
    Oben rechts KachelX + 1 64267 KachelY 45834 -0.06083193 0.82900780 -3.485413 47.498648
    Unten links KachelX 64266 KachelY + 1 45835 -0.06087986 0.82897541 -3.488159 47.496792
    Unten rechts KachelX + 1 64267 KachelY + 1 45835 -0.06083193 0.82897541 -3.485413 47.496792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82900780-0.82897541) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82900780-0.82897541) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06087986--0.06083193) × cos(0.82900780) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.675607603263198 × 6371000     		do = 206.304909215892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06087986--0.06083193) × cos(0.82897541) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.675631482805424 × 6371000     		du = 206.312201121381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82900780)-sin(0.82897541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675607603263198-0.675631482805424)×R²
    abs(-0.06083193--0.06087986)×2.38795422266014e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38795422266014e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38795422266014e-05×40589641000000     		ar = 42573.1505670437m²