Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64238 / 44727
↖ ↑ ↗
← N 49.512727°
W  3.565064°		 ← 198.31 m → N 49.512727°
W  3.562317°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
N 49.510944°
W  3.565064°		 ← 198.31 m →
39 331 m²		 N 49.510944°
W  3.562317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490100860595703 y=0.341243743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490100860595703 × 217)
    floor (0.490100860595703 × 131072)
    floor (64238.5)     		tx = 64238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341243743896484 × 217)
    floor (0.341243743896484 × 131072)
    floor (44727.5)     		ty = 44727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64238 / 44727 ti = "17/64238/44727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64238/44727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64238 ÷ 217
    64238 ÷ 131072     		x = 0.490097045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44727 ÷ 217
    44727 ÷ 131072     		y = 0.341239929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490097045898438 × 2 - 1) × π
    -0.019805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06222210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341239929199219 × 2 - 1) × π
    0.317520141601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.997518944193749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06222210} λ = -0.06222210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997518944193749))-π/2
    2×atan(2.71154597901)-π/2
    2×1.21747821594118-π/2
    2.43495643188236-1.57079632675     		φ = 0.86416011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06222210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.565064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86416011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.512727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64238 KachelY 44727 -0.06222210 0.86416011 -3.565064 49.512727
    Oben rechts KachelX + 1 64239 KachelY 44727 -0.06217416 0.86416011 -3.562317 49.512727
    Unten links KachelX 64238 KachelY + 1 44728 -0.06222210 0.86412898 -3.565064 49.510944
    Unten rechts KachelX + 1 64239 KachelY + 1 44728 -0.06217416 0.86412898 -3.562317 49.510944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86416011-0.86412898) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86416011-0.86412898) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06222210--0.06217416) × cos(0.86416011) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.649279123132109 × 6371000     		do = 198.306556649189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06222210--0.06217416) × cos(0.86412898) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.649302798745507 × 6371000     		du = 198.313787790931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86416011)-sin(0.86412898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649279123132109-0.649302798745507)×R²
    abs(-0.06217416--0.06222210)×2.3675613398666e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3675613398666e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3675613398666e-05×40589641000000     		ar = 39330.7037606929m²