Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64208 / 44645
↖ ↑ ↗
← N 49.658739°
W  3.647461°		 ← 197.67 m → N 49.658739°
W  3.644715°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 49.656961°
W  3.647461°		 ← 197.68 m →
39 079 m²		 N 49.656961°
W  3.644715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489871978759766 y=0.340618133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489871978759766 × 217)
    floor (0.489871978759766 × 131072)
    floor (64208.5)     		tx = 64208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340618133544922 × 217)
    floor (0.340618133544922 × 131072)
    floor (44645.5)     		ty = 44645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64208 / 44645 ti = "17/64208/44645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64208/44645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64208 ÷ 217
    64208 ÷ 131072     		x = 0.4898681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44645 ÷ 217
    44645 ÷ 131072     		y = 0.340614318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06366020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340614318847656 × 2 - 1) × π
    0.318771362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00144976996259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06366020} λ = -0.06366020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00144976996259))-π/2
    2×atan(2.72222556987197)-π/2
    2×1.21875241051153-π/2
    2.43750482102306-1.57079632675     		φ = 0.86670849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06366020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86670849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.658739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64208 KachelY 44645 -0.06366020 0.86670849 -3.647461 49.658739
    Oben rechts KachelX + 1 64209 KachelY 44645 -0.06361227 0.86670849 -3.644715 49.658739
    Unten links KachelX 64208 KachelY + 1 44646 -0.06366020 0.86667746 -3.647461 49.656961
    Unten rechts KachelX + 1 64209 KachelY + 1 44646 -0.06361227 0.86667746 -3.644715 49.656961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86670849-0.86667746) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dl = 197.692130000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86670849-0.86667746) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dr = 197.692130000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06366020--0.06361227) × cos(0.86670849) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647338846002277 × 6371000     		do = 197.672704113119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06366020--0.06361227) × cos(0.86667746) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647362496829466 × 6371000     		du = 197.679926177721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86670849)-sin(0.86667746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647338846002277-0.647362496829466)×R²
    abs(-0.06361227--0.06366020)×2.36508271890257e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36508271890257e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36508271890257e-05×40589641000000     		ar = 39079.0517947422m²