Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64172 / 44611
↖ ↑ ↗
← N 49.719152°
W  3.746338°		 ← 197.47 m → N 49.719152°
W  3.743591°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 49.717376°
W  3.746338°		 ← 197.48 m →
39 001 m²		 N 49.717376°
W  3.743591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489597320556641 y=0.340358734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489597320556641 × 217)
    floor (0.489597320556641 × 131072)
    floor (64172.5)     		tx = 64172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340358734130859 × 217)
    floor (0.340358734130859 × 131072)
    floor (44611.5)     		ty = 44611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64172 / 44611 ti = "17/64172/44611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64172/44611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64172 ÷ 217
    64172 ÷ 131072     		x = 0.489593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44611 ÷ 217
    44611 ÷ 131072     		y = 0.340354919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.02081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06538593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340354919433594 × 2 - 1) × π
    0.319290161132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.00307962454967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06538593} λ = -0.06538593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00307962454967))-π/2
    2×atan(2.72666601936461)-π/2
    2×1.21927961696835-π/2
    2.43855923393669-1.57079632675     		φ = 0.86776291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06538593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.746338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86776291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.719152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64172 KachelY 44611 -0.06538593 0.86776291 -3.746338 49.719152
    Oben rechts KachelX + 1 64173 KachelY 44611 -0.06533799 0.86776291 -3.743591 49.719152
    Unten links KachelX 64172 KachelY + 1 44612 -0.06538593 0.86773191 -3.746338 49.717376
    Unten rechts KachelX + 1 64173 KachelY + 1 44612 -0.06533799 0.86773191 -3.743591 49.717376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86776291-0.86773191) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86776291-0.86773191) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06538593--0.06533799) × cos(0.86776291) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646534804895874 × 6371000     		do = 197.468371221063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06538593--0.06533799) × cos(0.86773191) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.64655845400442 × 6371000     		du = 197.475594267541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86776291)-sin(0.86773191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646534804895874-0.64655845400442)×R²
    abs(-0.06533799--0.06538593)×2.364910854602e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.364910854602e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.364910854602e-05×40589641000000     		ar = 39000.9140669855m²