Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64133 / 44906
↖ ↑ ↗
← N 49.192474°
W  3.853455°		 ← 199.60 m → N 49.192474°
W  3.850708°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
N 49.190679°
W  3.853455°		 ← 199.61 m →
39 842 m²		 N 49.190679°
W  3.850708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489299774169922 y=0.342609405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489299774169922 × 217)
    floor (0.489299774169922 × 131072)
    floor (64133.5)     		tx = 64133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342609405517578 × 217)
    floor (0.342609405517578 × 131072)
    floor (44906.5)     		ty = 44906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64133 / 44906 ti = "17/64133/44906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64133/44906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64133 ÷ 217
    64133 ÷ 131072     		x = 0.489295959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44906 ÷ 217
    44906 ÷ 131072     		y = 0.342605590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489295959472656 × 2 - 1) × π
    -0.0214080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06725547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342605590820312 × 2 - 1) × π
    0.314788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.988938239161758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06725547} λ = -0.06725547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988938239161758))-π/2
    2×atan(2.68837854140611)-π/2
    2×1.2146834847181-π/2
    2.4293669694362-1.57079632675     		φ = 0.85857064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06725547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.853455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85857064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.192474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64133 KachelY 44906 -0.06725547 0.85857064 -3.853455 49.192474
    Oben rechts KachelX + 1 64134 KachelY 44906 -0.06720753 0.85857064 -3.850708 49.192474
    Unten links KachelX 64133 KachelY + 1 44907 -0.06725547 0.85853931 -3.853455 49.190679
    Unten rechts KachelX + 1 64134 KachelY + 1 44907 -0.06720753 0.85853931 -3.850708 49.190679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85857064-0.85853931) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85857064-0.85853931) × R
    3.13299999999961e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06725547--0.06720753) × cos(0.85857064) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653520031153301 × 6371000     		do = 199.601839119805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06725547--0.06720753) × cos(0.85853931) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653543744798454 × 6371000     		du = 199.609081877424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85857064)-sin(0.85853931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653520031153301-0.653543744798454)×R²
    abs(-0.06720753--0.06725547)×2.37136451535225e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37136451535225e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37136451535225e-05×40589641000000     		ar = 39841.9345654011m²