Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64133 / 44781
↖ ↑ ↗
← N 49.416334°
W  3.853455°		 ← 198.70 m → N 49.416334°
W  3.850708°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
N 49.414547°
W  3.853455°		 ← 198.70 m →
39 484 m²		 N 49.414547°
W  3.850708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489299774169922 y=0.341655731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489299774169922 × 217)
    floor (0.489299774169922 × 131072)
    floor (64133.5)     		tx = 64133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341655731201172 × 217)
    floor (0.341655731201172 × 131072)
    floor (44781.5)     		ty = 44781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64133 / 44781 ti = "17/64133/44781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64133/44781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64133 ÷ 217
    64133 ÷ 131072     		x = 0.489295959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44781 ÷ 217
    44781 ÷ 131072     		y = 0.341651916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489295959472656 × 2 - 1) × π
    -0.0214080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06725547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341651916503906 × 2 - 1) × π
    0.316696166992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.994930351614265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06725547} λ = -0.06725547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994930351614265))-π/2
    2×atan(2.70453596815524)-π/2
    2×1.21663702899886-π/2
    2.43327405799772-1.57079632675     		φ = 0.86247773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06725547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.853455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86247773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.416334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64133 KachelY 44781 -0.06725547 0.86247773 -3.853455 49.416334
    Oben rechts KachelX + 1 64134 KachelY 44781 -0.06720753 0.86247773 -3.850708 49.416334
    Unten links KachelX 64133 KachelY + 1 44782 -0.06725547 0.86244654 -3.853455 49.414547
    Unten rechts KachelX + 1 64134 KachelY + 1 44782 -0.06720753 0.86244654 -3.850708 49.414547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86247773-0.86244654) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dl = 198.711490000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86247773-0.86244654) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dr = 198.711490000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06725547--0.06720753) × cos(0.86247773) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.650557738128568 × 6371000     		do = 198.697078580629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06725547--0.06720753) × cos(0.86244654) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.650581425269685 × 6371000     		du = 198.704313243233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86247773)-sin(0.86244654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650557738128568-0.650581425269685)×R²
    abs(-0.06720753--0.06725547)×2.36871411166684e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36871411166684e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36871411166684e-05×40589641000000     		ar = 39484.1113518645m²