Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64014 / 44626
↖ ↑ ↗
← N 49.692509°
W  4.180298°		 ← 197.58 m → N 49.692509°
W  4.177551°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
N 49.690732°
W  4.180298°		 ← 197.58 m →
39 035 m²		 N 49.690732°
W  4.177551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488391876220703 y=0.340473175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488391876220703 × 217)
    floor (0.488391876220703 × 131072)
    floor (64014.5)     		tx = 64014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340473175048828 × 217)
    floor (0.340473175048828 × 131072)
    floor (44626.5)     		ty = 44626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64014 / 44626 ti = "17/64014/44626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64014/44626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64014 ÷ 217
    64014 ÷ 131072     		x = 0.488388061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44626 ÷ 217
    44626 ÷ 131072     		y = 0.340469360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488388061523438 × 2 - 1) × π
    -0.023223876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07295996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340469360351562 × 2 - 1) × π
    0.319061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00236057105537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07295996} λ = -0.07295996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00236057105537))-π/2
    2×atan(2.72470610536155)-π/2
    2×1.21904710665413-π/2
    2.43809421330825-1.57079632675     		φ = 0.86729789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07295996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.180298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86729789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.692509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64014 KachelY 44626 -0.07295996 0.86729789 -4.180298 49.692509
    Oben rechts KachelX + 1 64015 KachelY 44626 -0.07291202 0.86729789 -4.177551 49.692509
    Unten links KachelX 64014 KachelY + 1 44627 -0.07295996 0.86726688 -4.180298 49.690732
    Unten rechts KachelX + 1 64015 KachelY + 1 44627 -0.07291202 0.86726688 -4.177551 49.690732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86729789-0.86726688) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86729789-0.86726688) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07295996--0.07291202) × cos(0.86729789) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.646889491524419 × 6371000     		do = 197.576701647112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07295996--0.07291202) × cos(0.86726688) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.646913138935675 × 6371000     		du = 197.583924175193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86729789)-sin(0.86726688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646889491524419-0.646913138935675)×R²
    abs(-0.07291202--0.07295996)×2.36474112558227e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.36474112558227e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.36474112558227e-05×40589641000000     		ar = 39034.8972252833m²