Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64012 / 44621
↖ ↑ ↗
← N 49.701391°
W  4.185791°		 ← 197.54 m → N 49.701391°
W  4.183045°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 49.699615°
W  4.185791°		 ← 197.55 m →
39 015 m²		 N 49.699615°
W  4.183045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488376617431641 y=0.340435028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488376617431641 × 217)
    floor (0.488376617431641 × 131072)
    floor (64012.5)     		tx = 64012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340435028076172 × 217)
    floor (0.340435028076172 × 131072)
    floor (44621.5)     		ty = 44621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64012 / 44621 ti = "17/64012/44621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64012/44621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64012 ÷ 217
    64012 ÷ 131072     		x = 0.488372802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44621 ÷ 217
    44621 ÷ 131072     		y = 0.340431213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.02325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07305584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340431213378906 × 2 - 1) × π
    0.319137573242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00260025555347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07305584} λ = -0.07305584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00260025555347))-π/2
    2×atan(2.72535925344849)-π/2
    2×1.21912462426115-π/2
    2.43824924852231-1.57079632675     		φ = 0.86745292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07305584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.185791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86745292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.701391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64012 KachelY 44621 -0.07305584 0.86745292 -4.185791 49.701391
    Oben rechts KachelX + 1 64013 KachelY 44621 -0.07300790 0.86745292 -4.183045 49.701391
    Unten links KachelX 64012 KachelY + 1 44622 -0.07305584 0.86742192 -4.185791 49.699615
    Unten rechts KachelX + 1 64013 KachelY + 1 44622 -0.07300790 0.86742192 -4.183045 49.699615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86745292-0.86742192) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86745292-0.86742192) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07305584--0.07300790) × cos(0.86745292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646771260391347 × 6371000     		do = 197.540590815745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07305584--0.07300790) × cos(0.86742192) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646794903285644 × 6371000     		du = 197.547811964231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86745292)-sin(0.86742192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646771260391347-0.646794903285644)×R²
    abs(-0.07300790--0.07305584)×2.36428942972378e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36428942972378e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36428942972378e-05×40589641000000     		ar = 39015.1773219304m²