Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64008 / 47624
↖ ↑ ↗
← N 44.071801°
W  4.196777°		 ← 219.39 m → N 44.071801°
W  4.194031°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
N 44.069827°
W  4.196777°		 ← 219.40 m →
48 153 m²		 N 44.069827°
W  4.194031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488346099853516 y=0.363346099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488346099853516 × 217)
    floor (0.488346099853516 × 131072)
    floor (64008.5)     		tx = 64008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363346099853516 × 217)
    floor (0.363346099853516 × 131072)
    floor (47624.5)     		ty = 47624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64008 / 47624 ti = "17/64008/47624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64008/47624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64008 ÷ 217
    64008 ÷ 131072     		x = 0.48834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47624 ÷ 217
    47624 ÷ 131072     		y = 0.36334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.0233154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.07324758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36334228515625 × 2 - 1) × π
    0.2733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.858645745994446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07324758} λ = -0.07324758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858645745994446))-π/2
    2×atan(2.35996253991565)-π/2
    2×1.16999717610866-π/2
    2.33999435221732-1.57079632675     		φ = 0.76919803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07324758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.196777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76919803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.071801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64008 KachelY 47624 -0.07324758 0.76919803 -4.196777 44.071801
    Oben rechts KachelX + 1 64009 KachelY 47624 -0.07319965 0.76919803 -4.194031 44.071801
    Unten links KachelX 64008 KachelY + 1 47625 -0.07324758 0.76916358 -4.196777 44.069827
    Unten rechts KachelX + 1 64009 KachelY + 1 47625 -0.07319965 0.76916358 -4.194031 44.069827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76919803-0.76916358) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76919803-0.76916358) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07324758--0.07319965) × cos(0.76919803) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.7184687182642 × 6371000     		do = 219.393066300661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07324758--0.07319965) × cos(0.76916358) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.718492679854775 × 6371000     		du = 219.400383260602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76919803)-sin(0.76916358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7184687182642-0.718492679854775)×R²
    abs(-0.07319965--0.07324758)×2.39615905757162e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39615905757162e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39615905757162e-05×40589641000000     		ar = 48153.4015865816m²