Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63974 / 44636
↖ ↑ ↗
← N 49.674738°
W  4.290161°		 ← 197.65 m → N 49.674738°
W  4.287415°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.672961°
W  4.290161°		 ← 197.66 m →
39 062 m²		 N 49.672961°
W  4.287415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488086700439453 y=0.340549468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488086700439453 × 217)
    floor (0.488086700439453 × 131072)
    floor (63974.5)     		tx = 63974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340549468994141 × 217)
    floor (0.340549468994141 × 131072)
    floor (44636.5)     		ty = 44636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63974 / 44636 ti = "17/63974/44636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63974/44636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63974 ÷ 217
    63974 ÷ 131072     		x = 0.488082885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44636 ÷ 217
    44636 ÷ 131072     		y = 0.340545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488082885742188 × 2 - 1) × π
    -0.023834228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07487744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340545654296875 × 2 - 1) × π
    0.31890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00188120205917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07487744} λ = -0.07487744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00188120205917))-π/2
    2×atan(2.72340027874228)-π/2
    2×1.21889202892957-π/2
    2.43778405785914-1.57079632675     		φ = 0.86698773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07487744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.290161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86698773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.674738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63974 KachelY 44636 -0.07487744 0.86698773 -4.290161 49.674738
    Oben rechts KachelX + 1 63975 KachelY 44636 -0.07482950 0.86698773 -4.287415 49.674738
    Unten links KachelX 63974 KachelY + 1 44637 -0.07487744 0.86695671 -4.290161 49.672961
    Unten rechts KachelX + 1 63975 KachelY + 1 44637 -0.07482950 0.86695671 -4.287415 49.672961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86698773-0.86695671) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86698773-0.86695671) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07487744--0.07482950) × cos(0.86698773) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.647125983383425 × 6371000     		do = 197.648932348152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07487744--0.07482950) × cos(0.86695671) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.647149632195237 × 6371000     		du = 197.656155304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86698773)-sin(0.86695671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647125983383425-0.647149632195237)×R²
    abs(-0.07482950--0.07487744)×2.36488118119382e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.36488118119382e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.36488118119382e-05×40589641000000     		ar = 39061.7599486381m²