Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63958 / 44647
↖ ↑ ↗
← N 49.655183°
W  4.334107°		 ← 197.73 m → N 49.655183°
W  4.331360°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
N 49.653404°
W  4.334107°		 ← 197.74 m →
39 103 m²		 N 49.653404°
W  4.331360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487964630126953 y=0.340633392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487964630126953 × 217)
    floor (0.487964630126953 × 131072)
    floor (63958.5)     		tx = 63958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340633392333984 × 217)
    floor (0.340633392333984 × 131072)
    floor (44647.5)     		ty = 44647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63958 / 44647 ti = "17/63958/44647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63958/44647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63958 ÷ 217
    63958 ÷ 131072     		x = 0.487960815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44647 ÷ 217
    44647 ÷ 131072     		y = 0.340629577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487960815429688 × 2 - 1) × π
    -0.024078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07564443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340629577636719 × 2 - 1) × π
    0.318740844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00135389616335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07564443} λ = -0.07564443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00135389616335))-π/2
    2×atan(2.72196459227486)-π/2
    2×1.21872137796058-π/2
    2.43744275592117-1.57079632675     		φ = 0.86664643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07564443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.334107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86664643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.655183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63958 KachelY 44647 -0.07564443 0.86664643 -4.334107 49.655183
    Oben rechts KachelX + 1 63959 KachelY 44647 -0.07559649 0.86664643 -4.331360 49.655183
    Unten links KachelX 63958 KachelY + 1 44648 -0.07564443 0.86661539 -4.334107 49.653404
    Unten rechts KachelX + 1 63959 KachelY + 1 44648 -0.07559649 0.86661539 -4.331360 49.653404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86664643-0.86661539) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86664643-0.86661539) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07564443--0.07559649) × cos(0.86664643) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647386147033334 × 6371000     		do = 197.72839302339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07564443--0.07559649) × cos(0.86661539) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.647409804235281 × 6371000     		du = 197.735618541801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86664643)-sin(0.86661539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647386147033334-0.647409804235281)×R²
    abs(-0.07559649--0.07564443)×2.36572019468584e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36572019468584e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36572019468584e-05×40589641000000     		ar = 39102.6589017002m²