Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63957 / 44641
↖ ↑ ↗
← N 49.665850°
W  4.336853°		 ← 197.64 m → N 49.665850°
W  4.334107°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 49.664072°
W  4.336853°		 ← 197.65 m →
39 073 m²		 N 49.664072°
W  4.334107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487957000732422 y=0.340587615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487957000732422 × 217)
    floor (0.487957000732422 × 131072)
    floor (63957.5)     		tx = 63957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340587615966797 × 217)
    floor (0.340587615966797 × 131072)
    floor (44641.5)     		ty = 44641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63957 / 44641 ti = "17/63957/44641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63957/44641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63957 ÷ 217
    63957 ÷ 131072     		x = 0.487953186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44641 ÷ 217
    44641 ÷ 131072     		y = 0.340583801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487953186035156 × 2 - 1) × π
    -0.0240936279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.07569236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340583801269531 × 2 - 1) × π
    0.318832397460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00164151756107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07569236} λ = -0.07569236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00164151756107))-π/2
    2×atan(2.72274760013494)-π/2
    2×1.21881446881059-π/2
    2.43762893762118-1.57079632675     		φ = 0.86683261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07569236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.336853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86683261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.665850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63957 KachelY 44641 -0.07569236 0.86683261 -4.336853 49.665850
    Oben rechts KachelX + 1 63958 KachelY 44641 -0.07564443 0.86683261 -4.334107 49.665850
    Unten links KachelX 63957 KachelY + 1 44642 -0.07569236 0.86680158 -4.336853 49.664072
    Unten rechts KachelX + 1 63958 KachelY + 1 44642 -0.07564443 0.86680158 -4.334107 49.664072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86683261-0.86680158) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dl = 197.692130000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86683261-0.86680158) × R
    3.1030000000043e-05 × 6371000     		dr = 197.692130000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07569236--0.07564443) × cos(0.86683261) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647244236460776 × 6371000     		do = 197.643813951469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07569236--0.07564443) × cos(0.86680158) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.647267889781017 × 6371000     		du = 197.651036777354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86683261)-sin(0.86680158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647244236460776-0.647267889781017)×R²
    abs(-0.07564443--0.07569236)×2.36533202413458e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36533202413458e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36533202413458e-05×40589641000000     		ar = 39073.3405126924m²