Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63902 / 44710
↖ ↑ ↗
← N 49.543034°
W  4.487915°		 ← 198.14 m → N 49.543034°
W  4.485169°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
N 49.541251°
W  4.487915°		 ← 198.15 m →
39 273 m²		 N 49.541251°
W  4.485169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487537384033203 y=0.341114044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487537384033203 × 217)
    floor (0.487537384033203 × 131072)
    floor (63902.5)     		tx = 63902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341114044189453 × 217)
    floor (0.341114044189453 × 131072)
    floor (44710.5)     		ty = 44710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63902 / 44710 ti = "17/63902/44710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63902/44710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63902 ÷ 217
    63902 ÷ 131072     		x = 0.487533569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44710 ÷ 217
    44710 ÷ 131072     		y = 0.341110229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487533569335938 × 2 - 1) × π
    -0.024932861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07832889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341110229492188 × 2 - 1) × π
    0.317779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.998333871487289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07832889} λ = -0.07832889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998333871487289))-π/2
    2×atan(2.71375659245826)-π/2
    2×1.21774269160108-π/2
    2.43548538320217-1.57079632675     		φ = 0.86468906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07832889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86468906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.543034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63902 KachelY 44710 -0.07832889 0.86468906 -4.487915 49.543034
    Oben rechts KachelX + 1 63903 KachelY 44710 -0.07828096 0.86468906 -4.485169 49.543034
    Unten links KachelX 63902 KachelY + 1 44711 -0.07832889 0.86465795 -4.487915 49.541251
    Unten rechts KachelX + 1 63903 KachelY + 1 44711 -0.07828096 0.86465795 -4.485169 49.541251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86468906-0.86465795) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.201810000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86468906-0.86465795) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.201810000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07832889--0.07828096) × cos(0.86468906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.648876739287583 × 6371000     		do = 198.142318328644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07832889--0.07828096) × cos(0.86465795) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.648900410371566 × 6371000     		du = 198.149546578901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86468906)-sin(0.86465795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648876739287583-0.648900410371566)×R²
    abs(-0.07828096--0.07832889)×2.36710839828236e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36710839828236e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36710839828236e-05×40589641000000     		ar = 39272.8824595642m²