Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63900 / 45196
↖ ↑ ↗
← N 48.669199°
W  4.493408°		 ← 201.70 m → N 48.669199°
W  4.490662°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
N 48.667385°
W  4.493408°		 ← 201.71 m →
40 673 m²		 N 48.667385°
W  4.490662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487522125244141 y=0.344821929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487522125244141 × 217)
    floor (0.487522125244141 × 131072)
    floor (63900.5)     		tx = 63900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344821929931641 × 217)
    floor (0.344821929931641 × 131072)
    floor (45196.5)     		ty = 45196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63900 / 45196 ti = "17/63900/45196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63900/45196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63900 ÷ 217
    63900 ÷ 131072     		x = 0.487518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45196 ÷ 217
    45196 ÷ 131072     		y = 0.344818115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.02496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07842477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344818115234375 × 2 - 1) × π
    0.31036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.975036538271942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07842477} λ = -0.07842477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975036538271942))-π/2
    2×atan(2.65126408182086)-π/2
    2×1.21011704506563-π/2
    2.42023409013125-1.57079632675     		φ = 0.84943776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07842477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.493408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84943776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.669199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63900 KachelY 45196 -0.07842477 0.84943776 -4.493408 48.669199
    Oben rechts KachelX + 1 63901 KachelY 45196 -0.07837683 0.84943776 -4.490662 48.669199
    Unten links KachelX 63900 KachelY + 1 45197 -0.07842477 0.84940611 -4.493408 48.667385
    Unten rechts KachelX + 1 63901 KachelY + 1 45197 -0.07837683 0.84940611 -4.490662 48.667385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84943776-0.84940611) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dl = 201.642150000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84943776-0.84940611) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dr = 201.642150000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07842477--0.07837683) × cos(0.84943776) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.660405441442821 × 6371000     		do = 201.704820652743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07842477--0.07837683) × cos(0.84940611) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.660429207388779 × 6371000     		du = 201.712079384374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84943776)-sin(0.84940611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660405441442821-0.660429207388779)×R²
    abs(-0.07837683--0.07842477)×2.37659459582096e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37659459582096e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37659459582096e-05×40589641000000     		ar = 40672.9255385457m²