Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63887 / 45331
↖ ↑ ↗
← N 48.423733°
W  4.529114°		 ← 202.69 m → N 48.423733°
W  4.526367°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 48.421910°
W  4.529114°		 ← 202.69 m →
41 077 m²		 N 48.421910°
W  4.526367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487422943115234 y=0.345851898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487422943115234 × 217)
    floor (0.487422943115234 × 131072)
    floor (63887.5)     		tx = 63887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345851898193359 × 217)
    floor (0.345851898193359 × 131072)
    floor (45331.5)     		ty = 45331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63887 / 45331 ti = "17/63887/45331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63887/45331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63887 ÷ 217
    63887 ÷ 131072     		x = 0.487419128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45331 ÷ 217
    45331 ÷ 131072     		y = 0.345848083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487419128417969 × 2 - 1) × π
    -0.0251617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07904795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345848083496094 × 2 - 1) × π
    0.308303833007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.968565056823235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07904795} λ = -0.07904795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968565056823235))-π/2
    2×atan(2.63416187349845)-π/2
    2×1.20797495028711-π/2
    2.41594990057421-1.57079632675     		φ = 0.84515357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07904795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.529114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84515357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.423733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63887 KachelY 45331 -0.07904795 0.84515357 -4.529114 48.423733
    Oben rechts KachelX + 1 63888 KachelY 45331 -0.07900001 0.84515357 -4.526367 48.423733
    Unten links KachelX 63887 KachelY + 1 45332 -0.07904795 0.84512176 -4.529114 48.421910
    Unten rechts KachelX + 1 63888 KachelY + 1 45332 -0.07900001 0.84512176 -4.526367 48.421910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84515357-0.84512176) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84515357-0.84512176) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07904795--0.07900001) × cos(0.84515357) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.663616408737012 × 6371000     		do = 202.685532714687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07904795--0.07900001) × cos(0.84512176) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.663640204604425 × 6371000     		du = 202.692800585101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84515357)-sin(0.84512176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663616408737012-0.663640204604425)×R²
    abs(-0.07900001--0.07904795)×2.37958674130789e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37958674130789e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37958674130789e-05×40589641000000     		ar = 41077.2925774385m²