Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63618 / 45699
↖ ↑ ↗
← N 47.748558°
W  5.267944°		 ← 205.32 m → N 47.748558°
W  5.265198°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
N 47.746711°
W  5.267944°		 ← 205.33 m →
42 161 m²		 N 47.746711°
W  5.265198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485370635986328 y=0.348659515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485370635986328 × 217)
    floor (0.485370635986328 × 131072)
    floor (63618.5)     		tx = 63618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348659515380859 × 217)
    floor (0.348659515380859 × 131072)
    floor (45699.5)     		ty = 45699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63618 / 45699 ti = "17/63618/45699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63618/45699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63618 ÷ 217
    63618 ÷ 131072     		x = 0.485366821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45699 ÷ 217
    45699 ÷ 131072     		y = 0.348655700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485366821289062 × 2 - 1) × π
    -0.029266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09194297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348655700683594 × 2 - 1) × π
    0.302688598632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.950924277763054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09194297} λ = -0.09194297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950924277763054))-π/2
    2×atan(2.58810067806818)-π/2
    2×1.2020829383845-π/2
    2.40416587676899-1.57079632675     		φ = 0.83336955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09194297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.267944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83336955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.748558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63618 KachelY 45699 -0.09194297 0.83336955 -5.267944 47.748558
    Oben rechts KachelX + 1 63619 KachelY 45699 -0.09189504 0.83336955 -5.265198 47.748558
    Unten links KachelX 63618 KachelY + 1 45700 -0.09194297 0.83333732 -5.267944 47.746711
    Unten rechts KachelX + 1 63619 KachelY + 1 45700 -0.09189504 0.83333732 -5.265198 47.746711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83336955-0.83333732) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dl = 205.337329999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83336955-0.83333732) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dr = 205.337329999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09194297--0.09189504) × cos(0.83336955) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.672385436903712 × 6371000     		do = 205.320981955361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09194297--0.09189504) × cos(0.83333732) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.672409293239325 × 6371000     		du = 205.328266774432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83336955)-sin(0.83333732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672385436903712-0.672409293239325)×R²
    abs(-0.09189504--0.09194297)×2.38563356128596e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38563356128596e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38563356128596e-05×40589641000000     		ar = 42160.8101541287m²