Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63614 / 45697
↖ ↑ ↗
← N 47.752251°
W  5.278931°		 ← 205.35 m → N 47.752251°
W  5.276184°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
N 47.750405°
W  5.278931°		 ← 205.36 m →
42 167 m²		 N 47.750405°
W  5.276184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485340118408203 y=0.348644256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485340118408203 × 217)
    floor (0.485340118408203 × 131072)
    floor (63614.5)     		tx = 63614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348644256591797 × 217)
    floor (0.348644256591797 × 131072)
    floor (45697.5)     		ty = 45697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63614 / 45697 ti = "17/63614/45697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63614/45697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63614 ÷ 217
    63614 ÷ 131072     		x = 0.485336303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45697 ÷ 217
    45697 ÷ 131072     		y = 0.348640441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485336303710938 × 2 - 1) × π
    -0.029327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09213472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348640441894531 × 2 - 1) × π
    0.302719116210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.951020151562294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09213472} λ = -0.09213472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951020151562294))-π/2
    2×atan(2.58834882100801)-π/2
    2×1.20211516931401-π/2
    2.40423033862801-1.57079632675     		φ = 0.83343401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09213472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.278931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83343401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.752251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63614 KachelY 45697 -0.09213472 0.83343401 -5.278931 47.752251
    Oben rechts KachelX + 1 63615 KachelY 45697 -0.09208678 0.83343401 -5.276184 47.752251
    Unten links KachelX 63614 KachelY + 1 45698 -0.09213472 0.83340178 -5.278931 47.750405
    Unten rechts KachelX + 1 63615 KachelY + 1 45698 -0.09208678 0.83340178 -5.276184 47.750405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83343401-0.83340178) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dl = 205.337329999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83343401-0.83340178) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dr = 205.337329999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09213472--0.09208678) × cos(0.83343401) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.672337722137144 × 6371000     		do = 205.349246313695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09213472--0.09208678) × cos(0.83340178) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.672361579869644 × 6371000     		du = 205.356533079299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83343401)-sin(0.83340178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672337722137144-0.672361579869644)×R²
    abs(-0.09208678--0.09213472)×2.3857732499688e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.3857732499688e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.3857732499688e-05×40589641000000     		ar = 42166.6140816208m²