Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63613 / 63653
↖ ↑ ↗
← N  5.164805°
W  5.281677°		 ← 304.19 m → N  5.164805°
W  5.278931°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.162070°
W  5.281677°		 ← 304.19 m →
92 519 m²		 N  5.162070°
W  5.278931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485332489013672 y=0.485637664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485332489013672 × 217)
    floor (0.485332489013672 × 131072)
    floor (63613.5)     		tx = 63613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485637664794922 × 217)
    floor (0.485637664794922 × 131072)
    floor (63653.5)     		ty = 63653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63613 / 63653 ti = "17/63613/63653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63613/63653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63613 ÷ 217
    63613 ÷ 131072     		x = 0.485328674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63653 ÷ 217
    63653 ÷ 131072     		y = 0.485633850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485328674316406 × 2 - 1) × π
    -0.0293426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09218266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485633850097656 × 2 - 1) × π
    0.0287322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0902651819845657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09218266} λ = -0.09218266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0902651819845657))-π/2
    2×atan(1.09446447748861)-π/2
    2×0.830469590359528-π/2
    1.66093918071906-1.57079632675     		φ = 0.09014285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09218266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.281677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09014285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.164805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63613 KachelY 63653 -0.09218266 0.09014285 -5.281677 5.164805
    Oben rechts KachelX + 1 63614 KachelY 63653 -0.09213472 0.09014285 -5.278931 5.164805
    Unten links KachelX 63613 KachelY + 1 63654 -0.09218266 0.09009511 -5.281677 5.162070
    Unten rechts KachelX + 1 63614 KachelY + 1 63654 -0.09213472 0.09009511 -5.278931 5.162070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09014285-0.09009511) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dl = 304.15153999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09014285-0.09009511) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dr = 304.15153999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09218266--0.09213472) × cos(0.09014285) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995939883699518 × 6371000     		do = 304.185675974416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09218266--0.09213472) × cos(0.09009511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995944180158542 × 6371000     		du = 304.186988223593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09014285)-sin(0.09009511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995939883699518-0.995944180158542)×R²
    abs(-0.09213472--0.09218266)×4.29645902422227e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.29645902422227e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.29645902422227e-06×40589641000000     		ar = 92518.741372424m²