Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63607 / 63700
↖ ↑ ↗
← N  5.036227°
W  5.298157°		 ← 304.25 m → N  5.036227°
W  5.295410°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.033491°
W  5.298157°		 ← 304.25 m →
92 557 m²		 N  5.033491°
W  5.295410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485286712646484 y=0.485996246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485286712646484 × 217)
    floor (0.485286712646484 × 131072)
    floor (63607.5)     		tx = 63607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485996246337891 × 217)
    floor (0.485996246337891 × 131072)
    floor (63700.5)     		ty = 63700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63607 / 63700 ti = "17/63607/63700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63607/63700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63607 ÷ 217
    63607 ÷ 131072     		x = 0.485282897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63700 ÷ 217
    63700 ÷ 131072     		y = 0.485992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485282897949219 × 2 - 1) × π
    -0.0294342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09247028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485992431640625 × 2 - 1) × π
    0.02801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0880121477024231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09247028} λ = -0.09247028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0880121477024231))-π/2
    2×atan(1.09200138725552)-π/2
    2×0.829347534167233-π/2
    1.65869506833447-1.57079632675     		φ = 0.08789874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09247028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.298157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08789874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.036227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63607 KachelY 63700 -0.09247028 0.08789874 -5.298157 5.036227
    Oben rechts KachelX + 1 63608 KachelY 63700 -0.09242234 0.08789874 -5.295410 5.036227
    Unten links KachelX 63607 KachelY + 1 63701 -0.09247028 0.08785099 -5.298157 5.033491
    Unten rechts KachelX + 1 63608 KachelY + 1 63701 -0.09242234 0.08785099 -5.295410 5.033491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08789874-0.08785099) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08789874-0.08785099) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09247028--0.09242234) × cos(0.08789874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996139392362256 × 6371000     		do = 304.246611055369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09247028--0.09242234) × cos(0.08785099) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.996143582988866 × 6371000     		du = 304.247890980602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08789874)-sin(0.08785099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996139392362256-0.996143582988866)×R²
    abs(-0.09242234--0.09247028)×4.19062660972358e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.19062660972358e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.19062660972358e-06×40589641000000     		ar = 92556.6535478341m²