Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63594 / 63650
↖ ↑ ↗
← N  5.173011°
W  5.333862°		 ← 304.18 m → N  5.173011°
W  5.331116°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.170276°
W  5.333862°		 ← 304.18 m →
92 518 m²		 N  5.170276°
W  5.331116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485187530517578 y=0.485614776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485187530517578 × 217)
    floor (0.485187530517578 × 131072)
    floor (63594.5)     		tx = 63594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485614776611328 × 217)
    floor (0.485614776611328 × 131072)
    floor (63650.5)     		ty = 63650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63594 / 63650 ti = "17/63594/63650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63594/63650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63594 ÷ 217
    63594 ÷ 131072     		x = 0.485183715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63650 ÷ 217
    63650 ÷ 131072     		y = 0.485610961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485183715820312 × 2 - 1) × π
    -0.029632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09309346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485610961914062 × 2 - 1) × π
    0.028778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0904089926834259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09309346} λ = -0.09309346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0904089926834259))-π/2
    2×atan(1.09462188450813)-π/2
    2×0.830541203301057-π/2
    1.66108240660211-1.57079632675     		φ = 0.09028608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09309346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.333862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09028608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.173011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63594 KachelY 63650 -0.09309346 0.09028608 -5.333862 5.173011
    Oben rechts KachelX + 1 63595 KachelY 63650 -0.09304552 0.09028608 -5.331116 5.173011
    Unten links KachelX 63594 KachelY + 1 63651 -0.09309346 0.09023834 -5.333862 5.170276
    Unten rechts KachelX + 1 63595 KachelY + 1 63651 -0.09304552 0.09023834 -5.331116 5.170276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09028608-0.09023834) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09028608-0.09023834) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09309346--0.09304552) × cos(0.09028608) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995926979801725 × 6371000     		do = 304.181734791884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09309346--0.09304552) × cos(0.09023834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995931283070758 × 6371000     		du = 304.183049121012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09028608)-sin(0.09023834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995926979801725-0.995931283070758)×R²
    abs(-0.09304552--0.09309346)×4.30326903277933e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.30326903277933e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.30326903277933e-06×40589641000000     		ar = 92517.5429720048m²