Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63592 / 63590
↖ ↑ ↗
← N  5.337113°
W  5.339355°		 ← 304.04 m → N  5.337113°
W  5.336609°		 →
↑
304.09 m
↓
↑
304.09 m
↓
N  5.334379°
W  5.339355°		 ← 304.04 m →
92 455 m²		 N  5.334379°
W  5.336609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485172271728516 y=0.485157012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485172271728516 × 217)
    floor (0.485172271728516 × 131072)
    floor (63592.5)     		tx = 63592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485157012939453 × 217)
    floor (0.485157012939453 × 131072)
    floor (63590.5)     		ty = 63590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63592 / 63590 ti = "17/63592/63590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63592/63590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63592 ÷ 217
    63592 ÷ 131072     		x = 0.48516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63590 ÷ 217
    63590 ÷ 131072     		y = 0.485153198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09318933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485153198242188 × 2 - 1) × π
    0.029693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0932852066606293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09318933} λ = -0.09318933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0932852066606293))-π/2
    2×atan(1.09777478330434)-π/2
    2×0.831973265196651-π/2
    1.6639465303933-1.57079632675     		φ = 0.09315020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09318933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09315020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.337113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63592 KachelY 63590 -0.09318933 0.09315020 -5.339355 5.337113
    Oben rechts KachelX + 1 63593 KachelY 63590 -0.09314140 0.09315020 -5.336609 5.337113
    Unten links KachelX 63592 KachelY + 1 63591 -0.09318933 0.09310247 -5.339355 5.334379
    Unten rechts KachelX + 1 63593 KachelY + 1 63591 -0.09314140 0.09310247 -5.336609 5.334379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09315020-0.09310247) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dl = 304.087829999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09315020-0.09310247) × R
    4.77299999999958e-05 × 6371000     		dr = 304.087829999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09318933--0.09314140) × cos(0.09315020) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995664656280725 × 6371000     		do = 304.038180641144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09318933--0.09314140) × cos(0.09310247) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995669094778708 × 6371000     		du = 304.039535989899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09315020)-sin(0.09310247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995664656280725-0.995669094778708)×R²
    abs(-0.09314140--0.09318933)×4.43849798248408e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.43849798248408e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.43849798248408e-06×40589641000000     		ar = 92454.5166783667m²