Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63591 / 63529
↖ ↑ ↗
← N  5.503906°
W  5.342102°		 ← 304.02 m → N  5.503906°
W  5.339355°		 →
↑
304.02 m
↓
↑
304.02 m
↓
N  5.501172°
W  5.342102°		 ← 304.02 m →
92 429 m²		 N  5.501172°
W  5.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485164642333984 y=0.484691619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485164642333984 × 217)
    floor (0.485164642333984 × 131072)
    floor (63591.5)     		tx = 63591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484691619873047 × 217)
    floor (0.484691619873047 × 131072)
    floor (63529.5)     		ty = 63529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63591 / 63529 ti = "17/63591/63529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63591/63529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63591 ÷ 217
    63591 ÷ 131072     		x = 0.485160827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63529 ÷ 217
    63529 ÷ 131072     		y = 0.484687805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485160827636719 × 2 - 1) × π
    -0.0296783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09323727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484687805175781 × 2 - 1) × π
    0.0306243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0962093575374527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09323727} λ = -0.09323727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0962093575374527))-π/2
    2×atan(1.10098954032608)-π/2
    2×0.833428802022991-π/2
    1.66685760404598-1.57079632675     		φ = 0.09606128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09323727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.342102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09606128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.503906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63591 KachelY 63529 -0.09323727 0.09606128 -5.342102 5.503906
    Oben rechts KachelX + 1 63592 KachelY 63529 -0.09318933 0.09606128 -5.339355 5.503906
    Unten links KachelX 63591 KachelY + 1 63530 -0.09323727 0.09601356 -5.342102 5.501172
    Unten rechts KachelX + 1 63592 KachelY + 1 63530 -0.09318933 0.09601356 -5.339355 5.501172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09606128-0.09601356) × R
    4.77200000000011e-05 × 6371000     		dl = 304.024120000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09606128-0.09601356) × R
    4.77200000000011e-05 × 6371000     		dr = 304.024120000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09323727--0.09318933) × cos(0.09606128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995389662139986 × 6371000     		do = 304.017624147432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09323727--0.09318933) × cos(0.09601356) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995394238004084 × 6371000     		du = 304.01902173411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09606128)-sin(0.09601356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995389662139986-0.995394238004084)×R²
    abs(-0.09318933--0.09323727)×4.57586409807753e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.57586409807753e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.57586409807753e-06×40589641000000     		ar = 92428.9031135061m²