Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63589 / 63659
↖ ↑ ↗
← N  5.148392°
W  5.347595°		 ← 304.13 m → N  5.148392°
W  5.344849°		 →
↑
304.22 m
↓
↑
304.22 m
↓
N  5.145657°
W  5.347595°		 ← 304.13 m →
92 521 m²		 N  5.145657°
W  5.344849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485149383544922 y=0.485683441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485149383544922 × 217)
    floor (0.485149383544922 × 131072)
    floor (63589.5)     		tx = 63589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485683441162109 × 217)
    floor (0.485683441162109 × 131072)
    floor (63659.5)     		ty = 63659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63589 / 63659 ti = "17/63589/63659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63589/63659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63589 ÷ 217
    63589 ÷ 131072     		x = 0.485145568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63659 ÷ 217
    63659 ÷ 131072     		y = 0.485679626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485145568847656 × 2 - 1) × π
    -0.0297088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09333314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485679626464844 × 2 - 1) × π
    0.0286407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0899775605868454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09333314} λ = -0.09333314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0899775605868454))-π/2
    2×atan(1.09414973135187)-π/2
    2×0.830326361696616-π/2
    1.66065272339323-1.57079632675     		φ = 0.08985640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09333314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.347595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08985640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.148392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63589 KachelY 63659 -0.09333314 0.08985640 -5.347595 5.148392
    Oben rechts KachelX + 1 63590 KachelY 63659 -0.09328521 0.08985640 -5.344849 5.148392
    Unten links KachelX 63589 KachelY + 1 63660 -0.09333314 0.08980865 -5.347595 5.145657
    Unten rechts KachelX + 1 63590 KachelY + 1 63660 -0.09328521 0.08980865 -5.344849 5.145657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08985640-0.08980865) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dl = 304.215249999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08985640-0.08980865) × R
    4.77499999999992e-05 × 6371000     		dr = 304.215249999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09333314--0.09328521) × cos(0.08985640) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995965629302864 × 6371000     		do = 304.13008637416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09333314--0.09328521) × cos(0.08980865) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995969913038962 × 6371000     		du = 304.131394464511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08985640)-sin(0.08980865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995965629302864-0.995969913038962)×R²
    abs(-0.09328521--0.09333314)×4.28373609806521e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.28373609806521e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.28373609806521e-06×40589641000000     		ar = 92521.2092469451m²