Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63589 / 63626
↖ ↑ ↗
← N  5.238657°
W  5.347595°		 ← 304.09 m → N  5.238657°
W  5.344849°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.235922°
W  5.347595°		 ← 304.09 m →
92 489 m²		 N  5.235922°
W  5.344849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485149383544922 y=0.485431671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485149383544922 × 217)
    floor (0.485149383544922 × 131072)
    floor (63589.5)     		tx = 63589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485431671142578 × 217)
    floor (0.485431671142578 × 131072)
    floor (63626.5)     		ty = 63626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63589 / 63626 ti = "17/63589/63626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63589/63626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63589 ÷ 217
    63589 ÷ 131072     		x = 0.485145568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63626 ÷ 217
    63626 ÷ 131072     		y = 0.485427856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485145568847656 × 2 - 1) × π
    -0.0297088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09333314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485427856445312 × 2 - 1) × π
    0.029144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0915594782743073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09333314} λ = -0.09333314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0915594782743073))-π/2
    2×atan(1.09588195592173)-π/2
    2×0.831114073282714-π/2
    1.66222814656543-1.57079632675     		φ = 0.09143182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09333314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.347595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09143182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.238657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63589 KachelY 63626 -0.09333314 0.09143182 -5.347595 5.238657
    Oben rechts KachelX + 1 63590 KachelY 63626 -0.09328521 0.09143182 -5.344849 5.238657
    Unten links KachelX 63589 KachelY + 1 63627 -0.09333314 0.09138408 -5.347595 5.235922
    Unten rechts KachelX + 1 63590 KachelY + 1 63627 -0.09328521 0.09138408 -5.344849 5.235922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09143182-0.09138408) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dl = 304.15153999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09143182-0.09138408) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dr = 304.15153999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09333314--0.09328521) × cos(0.09143182) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995823022246239 × 6371000     		do = 304.086539593857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09333314--0.09328521) × cos(0.09138408) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995827379987396 × 6371000     		du = 304.087870282543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09143182)-sin(0.09138408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995823022246239-0.995827379987396)×R²
    abs(-0.09328521--0.09333314)×4.35774115703502e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.35774115703502e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.35774115703502e-06×40589641000000     		ar = 92488.591693782m²