Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63588 / 63596
↖ ↑ ↗
← N  5.320706°
W  5.350342°		 ← 304.11 m → N  5.320706°
W  5.347595°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.317970°
W  5.350342°		 ← 304.11 m →
92 496 m²		 N  5.317970°
W  5.347595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485141754150391 y=0.485202789306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485141754150391 × 217)
    floor (0.485141754150391 × 131072)
    floor (63588.5)     		tx = 63588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485202789306641 × 217)
    floor (0.485202789306641 × 131072)
    floor (63596.5)     		ty = 63596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63588 / 63596 ti = "17/63588/63596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63588/63596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63588 ÷ 217
    63588 ÷ 131072     		x = 0.485137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63596 ÷ 217
    63596 ÷ 131072     		y = 0.485198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.02972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09338108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485198974609375 × 2 - 1) × π
    0.02960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09338108} λ = -0.09338108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0929975852629089))-π/2
    2×atan(1.09745908518972)-π/2
    2×0.831830076053226-π/2
    1.66366015210645-1.57079632675     		φ = 0.09286383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09338108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.350342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09286383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.320706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63588 KachelY 63596 -0.09338108 0.09286383 -5.350342 5.320706
    Oben rechts KachelX + 1 63589 KachelY 63596 -0.09333314 0.09286383 -5.347595 5.320706
    Unten links KachelX 63588 KachelY + 1 63597 -0.09338108 0.09281609 -5.350342 5.317970
    Unten rechts KachelX + 1 63589 KachelY + 1 63597 -0.09333314 0.09281609 -5.347595 5.317970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09286383-0.09281609) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dl = 304.15153999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09286383-0.09281609) × R
    4.77399999999906e-05 × 6371000     		dr = 304.15153999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09338108--0.09333314) × cos(0.09286383) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995691252316818 × 6371000     		do = 304.109737550455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09338108--0.09333314) × cos(0.09281609) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.995695678132234 × 6371000     		du = 304.111089308404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09286383)-sin(0.09281609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995691252316818-0.995695678132234)×R²
    abs(-0.09333314--0.09338108)×4.42581541648668e-06×R²
    4.79400000000102e-05×4.42581541648668e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×4.42581541648668e-06×40589641000000     		ar = 92495.6505921311m²