Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63587 / 63640
↖ ↑ ↗
← N  5.200365°
W  5.353089°		 ← 304.17 m → N  5.200365°
W  5.350342°		 →
↑
304.15 m
↓
↑
304.15 m
↓
N  5.197630°
W  5.353089°		 ← 304.17 m →
92 514 m²		 N  5.197630°
W  5.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485134124755859 y=0.485538482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485134124755859 × 217)
    floor (0.485134124755859 × 131072)
    floor (63587.5)     		tx = 63587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485538482666016 × 217)
    floor (0.485538482666016 × 131072)
    floor (63640.5)     		ty = 63640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63587 / 63640 ti = "17/63587/63640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63587/63640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63587 ÷ 217
    63587 ÷ 131072     		x = 0.485130310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63640 ÷ 217
    63640 ÷ 131072     		y = 0.48553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485130310058594 × 2 - 1) × π
    -0.0297393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09342902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48553466796875 × 2 - 1) × π
    0.0289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0908883616796265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09342902} λ = -0.09342902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0908883616796265))-π/2
    2×atan(1.09514673809134)-π/2
    2×0.830779906391693-π/2
    1.66155981278339-1.57079632675     		φ = 0.09076349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09342902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.353089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09076349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.200365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63587 KachelY 63640 -0.09342902 0.09076349 -5.353089 5.200365
    Oben rechts KachelX + 1 63588 KachelY 63640 -0.09338108 0.09076349 -5.350342 5.200365
    Unten links KachelX 63587 KachelY + 1 63641 -0.09342902 0.09071575 -5.353089 5.197630
    Unten rechts KachelX + 1 63588 KachelY + 1 63641 -0.09338108 0.09071575 -5.350342 5.197630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09076349-0.09071575) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dl = 304.151540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09076349-0.09071575) × R
    4.77400000000044e-05 × 6371000     		dr = 304.151540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09342902--0.09338108) × cos(0.09076349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995883821366268 × 6371000     		do = 304.168553094797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09342902--0.09338108) × cos(0.09071575) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.995888147333582 × 6371000     		du = 304.169874356565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09076349)-sin(0.09071575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995883821366268-0.995888147333582)×R²
    abs(-0.09338108--0.09342902)×4.32596731347878e-06×R²
    4.79399999999963e-05×4.32596731347878e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.32596731347878e-06×40589641000000     		ar = 92513.5347928351m²